通过视频游戏解释物理学/工作介绍

通过视频游戏解释物理学
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主题 3.1 - 工作介绍

目标

了解什么是工作。
理解和应用工作推导。
了解工作和力在图形上的关系。

示例 1：滚动城市巨石

由于作用于巨石上的力，巨石上做了功。此外，巨石在相同方向上发生了位移。

为了进一步描述物理物体的行为，我们可以考虑功。功是系统内的一种能量形式，我们将在稍后讨论。它涉及考虑作用在物体上的选定力的量级和物体发生的位移。

在最简单的形式中，功是力的量级和物体位移的乘积，前提是 (1) 力是恒定的，(2) 力和位移向量指向相同方向。在这种特殊情况下， ${\text{Work}}={\text{Force}}\cdot {\text{Displacement}}$ . 我们可以使用功可以用符号 $W$ 表示的约定，使得 $W={\vec {F}}{\vec {d}}$ .

例如，考虑在swiped3的修改版lack of comfort中滚动的圆形巨石。巨石在平面上向右加速。这是因为风在推动巨石，在巨石上施加了一个恒定的 ${\vec {F}}_{\text{net}}$ ，该力指向右侧。此外，在视频中，存在一个指向右侧的位移向量。

练习：假设 ${\vec {F}}_{\text{net}}$ 的量级为 $10.\;{\text{N}}$ 且位移量级为 $5.0\;{\text{m}}$ 。巨石上做的净功是多少？

答案

在这种情况下，我们被告知力是恒定的。此外，我们可以在图中看到 ${\vec {F}}_{\text{net}}$ 和 ${\vec {d}}$ 向量指向相同方向（指向右侧）。因此，我们可以使用公式 $W={\vec {F}}{\vec {d}}$ ，如下所示，以找到净力 ${\vec {F}}_{\text{net}}$ 对巨石做的功。

$W={\vec {F}}{\vec {d}}$

$W_{\text{net}}={\vec {F}}_{\text{net}}{\vec {d}}$ [我们正在考虑净力对球做的功。因此，我们正在计算对球的净功。]

$W_{\text{net}}=(10.)(5.0)\;{\text{N}}\cdot {\text{m}}$ [代入。]

$W_{\text{net}}=50.\;{\text{N m}}$ [两位有效数字。]

当巨石在屋顶上滚动时，它具有 $50.\;{\text{N m}}$ 的净功。

示例 2：螺旋桨飞机

一架飞机下降的示意图，上面覆盖着位移向量。

如之前在主题 2.3 - 牛顿第二定律中所见，让我们再次考虑 *TiM MELL0* 制作的 *机动飞机* 地图，其中玩家 Sam（红色）驾驶飞机降落到地面。我们将用这个例子来概括计算物体上恒力做的功的概念。

值得注意的是，即使位移向量与力向量不平行，我们也可以计算力对物体做的功。有了这个，我们可以使用物体做的功的一般公式，给定一个恒力。

恒力做的功的定义

W={\vec {F}}{\boldsymbol {\cdot }}{\vec {d}}

上面等式中要注意两点：

功是一个一维值。但是，它可以是负的也可以是正的。有关更多信息，请参阅 Khan Academy 的此视频。此外，下一个示例将进一步阐述此概念。
该等式中使用了点积。这是一种两个向量之间的乘法。通常，此概念是在预备微积分课程中介绍的。

我们也可以将恒力做的功的一般公式写成 $W=Fd\cos(\theta )$ 的形式。其中：

$F$ 和 $d$ 分别是向量 ${\vec {F}}$ 和 ${\vec {d}}$ 的大小。
$\theta$ 是两个向量方向之间的差值。

练习： 假设飞机下降时受到

8.0\cdot 10^{4}\;{\text{N}}

的重力（方向向下）。在飞机路径上标注为“开始”和“结束”的两个点之间，测得距离为

100.\;{\text{m}}

。此外，飞机在这两点之间的位移向量指向

30.^{\circ }

低于+X轴。重力在这两个标注点之间所做的功是多少？

答案： 为了解决这个问题，我们可以先列出题目中提到的信息。

我们需要计算重力对飞机所做的功。
重力向量的大小为 $8.0\cdot 10^{4}\;{\text{N}}$ ，方向向下。
位移向量的大小为 $100.\;{\text{m}}$ 。它指向 $30.^{\circ }$ 低于+X轴。

有了这些信息，我们可以找到将变量代入方程 $W=Fd\cos(\theta )$ 所需的变量。更具体地说，重力向量的大小是我们的 ${\vec {F}}$ 变量。此外，位移向量代表 ${\vec {d}}$ 变量。因此，我们可以将部分变量代入方程，得到

$W=Fd\cos(\theta )$ [公式]

$W_{grav}=F_{grav}d\cos(\theta )$ [我们正在考虑重力对飞机的作用。]

$W_{grav}=(8.0\cdot 10^{4})(100.)\cos(\theta )\;{\text{N m}}$ [将重力和位移向量的大小代入。]

为了考虑 $\theta$ 的值，我们可以将 ${\vec {F}}_{grav}$ 和 ${\vec {d}}$ 绘制成右侧的图。根据给定的信息和图，我们可以发现 $\theta =60.^{\circ }$ 。我们可以将该值代入我们对 $W_{grav}$ 的方程中，并继续简化。

$W_{grav}=(8.0\cdot 10^{4})\;(100.)\cos(60.^{\circ })\;{\text{N m}}$ [将 $\theta$ 代入]

$W_{grav}=4.0\cdot 10^{6}\;{\text{N}}\,{\text{m}}$ [使用度数模式；代数；两位有效数字]

当飞机下降时，重力对飞机做了 $4.0\cdot 10^{6}\;{\text{N}}\,{\text{m}}$ 的功。

示例 3：装配线

内容先决条件
在阅读本示例之前，请观看由可汗学院制作的相关视频。

一条装配线上有彩色箱子在传送带上滚动。

我们也可以计算力的功，即使力在变化。假设在 antidonaldtrump / Armin van Buren 的地图 *工厂复制地图* 中，彩色箱子被推着沿着装配线移动。在装配线的顶层，箱子受到一个净力，这个力推动它们沿着装配线向前移动，使它们向左加速。

与之前的例子不同，作用在物体上的力是变化的。这意味着方程 $W=Fd\cos(\theta )$ 假设力是恒定的，不能直接使用。

相反，我们可以考虑用图形方法计算彩色箱子上的功。

逐步演示：假设在装配线的顶层，

黄色箱子翻到侧面，开始沿着两条传送带向左移动。
黄色箱子沿着第一条传送带移动了 $1.0\;{\text{m}}$ 。

黄色箱子在第一条传送带上受到的净力为 $200.\;{\text{N}}$ 。
然后，黄色箱子沿着第二条传送带移动了 $4.0\;{\text{m}}$ 。
黄色箱子在第二条传送带上受到的净力为 $300.\;{\text{N}}$ 。

在本例中，我们将用图形方法计算黄色箱子在净力作用下的功。为此，我们可以创建一个黄色箱子上的力关于其位移的函数，如右图所示。为了更深入地了解，我们需要考虑一些关于功的理论。

力的功是该力在距离上的积累。换句话说，我们可以绘制力关于距离的函数图。由于功是力关于距离的积累，因此上述函数下的面积就是功。

根据这个定义，我们可以绘制一个黄色方块的合力图， ${\vec {F}}_{net}$ 关于 ${\vec {d}}$ 的变化图。由于作用在黄色方块上的力是 *依赖*于方块的位置的， ${\vec {F}}_{net}$ 是自变量 ( $Y\;{\text{axis}}$ )， ${\vec {d}}$ 是因变量 ( $X\;{\text{axis}}$ )。

如上所述，由于功是关于距离的力的累积，如果我们要计算绿色曲线和 $X$ 轴之间的面积，这将是在黄色方块上从 $0.0\;{\text{m}}$ 到 $5.0\;{\text{m}}$ 做的功。

这可以通过将图示图形分解成两个矩形来实现，如图所示。从这里，我们可以轻松地计算出每个矩形的面积，从而得到所做的功。

由此，我们可以将两个矩形的面积加起来得到所做的功。

形状	形状面积	相关位移域
紫色矩形	$200.\;{\text{Nm}}$	$0.0$ 到 $1.0\;{\text{m}}$
蓝色矩形	$1200.\;{\text{Nm}}$	$1.0$ 到 $5.0\;{\text{m}}$
总面积	$1400.\;{\text{Nm}}$ ( ${1.40\cdot 10^{3}}\;{\text{Nm}}$ 在考虑有效数字后)	$0.0$ 到 $5.0\;{\text{m}}$