带微积分的物理学/力学/能量与能量守恒/势能

势能是由于物体位置而储存在物体中的能量。 存在几种类型的势能。

重力

重力势能涉及两个物体之间力的线积分 ($m_{1}$ 和 $m_{2}$)。 根据牛顿万有引力定律，力为

$\mathbf {F} _{g}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\;{\hat {r}}$

我们积分得到势能

$U_{g}(r)=-\int _{\infty }^{r}\mathbf {F} _{g}\,dr'=\int _{\infty }^{r}{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\,dr=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{r}}$

这里，我们取参考点（势能等于零的点）为 $r=\infty$。 有时，在处理由于重力引起的加速度差异可以忽略不计的小距离时，我们通过假设 $r=R+y$，其中 $R$ 是地球半径， $y<<R$ 是高于地球表面的高度。 取 $m_{2}$ 为行星的质量

$F_{g}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{R^{2}}}$

$g={\frac {Gm_{2}}{R^{2}}}$.

注意向量 $g$ 指向 $-{\hat {r}}$ 方向。 将其代入 $U_{g}$ 的积分

$U_{g}=-\int _{0}^{y}(-m_{1}g{\hat {r}})dr'=m_{1}gy$,

现在，参考点在地球表面上。

弹性

弹性势能是指储存在被压缩或拉伸的物体（例如弹簧）中的能量。物体中储存的能量取决于弹簧常数 ($k$) 和偏离静止位置的位移 ($x$)。需要注意的是，无论物体是压缩还是拉伸，能量的大小都是相同的。考虑到力

$\mathbf {F} _{s}=-k\mathbf {x}$

我们对它进行积分，得到能量

$U_{s}=-\int \mathbf {F} _{s}\,dx=\int -k\mathbf {x} \,dx={\frac {1}{2}}k\mathbf {x} ^{2}$