微积分物理学/力学/动量和动量守恒

动量和能量

---

动量 是一个物理量，等于物体的质量乘以其速度。动量与能量有关，就像能量一样，它在一个封闭系统（一个没有能量进入或离开的系统）中保持守恒。经典地，动量定义如下

$\mathbf {p} =m\mathbf {v}$

其中粗体 P 和 v 表示向量。

其中w:动能 定义为

$E=\left({\frac {1}{2}}\right)mv^{2}$

因此，

$2E/\mathbf {v} =\mathbf {p}$

另外请注意

${\frac {dE}{dv}}=p$

也就是说，动量可以用来测量物体速度变化时动能的变化。

力和动量

---

力 定义为物体的质量乘以其加速度

$\mathbf {F} =m\mathbf {a}$

加速度是速度的导数，它是距离随时间的变化的矢量形式。因此，加速度的积分是速度

$\int adt=v$

利用这一点，我们可以很容易地看到力的积分是如何成为动量的

$\int Fdt=m\int adt=mv=p$

动量守恒

---

回想一下来自质心的主要结果，对于一个粒子系统

$F=M{\frac {dV}{dt}}={\frac {dMV}{dt}}$

其中 F 是外力的总和，M 是总质量，V 是质心的速度（即质心的时间导数）。如果 F = 0，我们有 $MV=\sum _{i}m_{i}v_{i}=const$. 如果我们定义 $m_{i}v_{i}$ 为一个粒子的动量，那么我们有动量守恒定律——当没有外力时，总动量守恒。换句话说，你开始时的动量将是你最终的动量。假设你在打台球，你想把八号球打进右角袋。然而，作为挑战，你的对手把八号球滚过桌子。动量守恒可以用一个简单的公式来概括

$\sum p_{i}=\sum p_{f}$

当你用球杆击打白球，你的对手把八号球滚过球桌时，你给了白球一定的速度 v_1，八号球一定的速度 v_2。因此，整个系统的初始动量为

$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=\sum p_{i}$

作为一名拥有精湛技术的台球高手，白球击打八号球，八号球飞入球袋。碰撞后，系统的动量为

$m_{1}v_{1}'+m_{2}v_{2}'=\sum p_{f}$

你能猜到下一步我们该做什么吗？既然我们知道系统的动量是守恒的，我们可以把这两个等式设置为相等

$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v_{1}'+m_{2}v_{2}'=\sum p_{i}=\sum p_{f}$

现在，有很多方法可以解决这些方程，这取决于通过实验给出的或确定的值。如果我们确定了质量和初始速度，再加上一个最终速度，我们可以用这种简单的代数方法来解方程

$(m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}-m_{1}v_{1}')/m_{2}=v_{2}'\Rightarrow (m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}-m_{2}v_{2}')/m_{1}=v_{1}'$

这里的“$\Rightarrow$"符号表示“这意味着”。显然，如果你能解出 v1'，你就能解出 v2'。

---

现在让我们尝试一些更难的事情。假设我们是穷困的大学生，买不起测量速度的机器。然而，我们可以测量力和质量。我们故意用 3N 的力击打白球，用 1N 的力滚动八号球。如果我们现在想找到动量，我们就必须使用给定的信息来计算它们。我们可以使用这个巧妙的公式

$\int Fdt=\int madt=mv=p$

（我只是对 F = ma 进行了时间积分）。因此，我们的动量很容易计算出来

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}3\,dt=p_{1}\quad and\quad \int _{t_{1}}^{t_{2}}1\,dt=p_{2}$

记住，因为力的积分是动量，动量等于力曲线（按时间）下的面积。换句话说，当你击打白球时，你在一段时间内施加了一定的力。如果你要绘制它，白球在时间间隔结束时的动量将是该曲线到该点的总面积。

---

动量守恒定律当然可以应用于两个碰撞物体形成一个大物体的这种情况。假设你的台球是用粘土做的，当你的白球击中八号球时，它们粘在一起形成一块大的粘土。动量守恒方程现在看起来像这样

$\sum p_{i}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=\sum p_{f}=(m_{1}+m_{2})/v'$

--Mattciv 18:21, 7 August 2005 (UTC)

连续系统

现在是一个很好的时间来研究一类涉及连续质量分布的有趣问题。经典的例子是燃烧燃料并以相对于火箭的速度 v 喷出废气的火箭。如果火箭最初的质量为 $M_{0}$，并且以 b 的速率燃烧燃料，那么火箭的速度是如何随燃烧的质量（或等效地，自燃烧质量为 bt 以来的时间）变化的？

考虑火箭在两个时间 t 和 t + dt。在 t 时，它的速度向前为 u，质量为 M。在 t + dt 时，它的速度为 u + du，质量为 M - dm，并且已经以 u - v 的速度向前喷射了小质量 dm（这样它相对于火箭的速度为 -v）。利用动量守恒定律，

$Mu=(M-dm)(u+du)+(u-v)dm$.

这简化为

$du=v{\frac {dm}{M}}$

注意到两个小量的乘积实际上非常非常小，我们可以安全地将 $dudm$ 视为零。

积分得到

$\Delta u=v\ln({\frac {M}{M_{0}}})$.

或者，如果我们想找到 u 作为时间的函数，只需将 $M=M_{0}-bt$ 代入。

正如你所看到的，动量守恒定律为这类问题提供了强有力的工具。如果我们想找到远离地球的火箭的速度，我们必须注意到动量守恒定律并不完全成立，但是 $p(t+dt)=p(t)+Fdt$，这与 F = ma 是同一件事。

使用微分（或者如果你坚持这种说法，使用增量）是一个非常有用的技巧，它可以让你为大多数系统（如果你非常聪明，所有的系统）写出微分方程，所以这是一个值得记住的技巧。