两年制学院预备代数/附录（程序）/指数

指数

指数或“幂”是重复乘法的过程，就像乘法是重复加法的过程一样。

指数通常写成$a^{b}$ 的形式，其中 $a$ 是底数，$b$ 是指数。在上下文中，上标不可用，例如在计算机的许多上下文中，$a^{b}$ 通常写成“a^b”，或者不太常见地写成“a**b”。如果你不熟悉代数，你可以想象字母 a 和 b 代表数字。我们读$a^{b}$ 为a 的 b 次方，a 的 b 次幂或a 指数 b。

整数指数

当指数为正整数时，它只是将底数自身乘以一定次数的简单情况。例如，

$3^{4}=3*3*3*3=81\,$

这里，3 是底数，4 是指数（写成上标），而 81 是 3 乘以 4 次幂。注意，因为指数是 4，所以底数 3 在重复乘法中出现了 4 次。

更多示例

${\begin{matrix}12^{2}=12\times 12=144\\2^{8}=2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2=256\\1^{5}=1\times 1\times 1\times 1\times 1=1\end{matrix}}$

指数相乘

如果你有两个或多个底数相同的指数，那么将它们相乘的效果与将它们的指数相加相同。

例如$(a^{b})*(a^{c})\,$ 与 $a^{b+c}\,$ 相同。例如，

$(3^{4})*(3^{2})=(3*3*3*3)*(3*3)=(3*3*3*3*3*3)=(3^{6})=(3^{4+2})\,$

除法指数

如果两个或多个指数具有相同的底数，则除法它们的效果与减去它们的指数相同。

例如 $(a^{b})/(a^{c})\,$ 与 $a^{b-c}\,$ 相同。例如，

$(3^{6})/(3^{2})=(3*3*3*3*3*3)/(3*3)=(3*3*3*3)=(3^{4})=(3^{6-2})\,$

练习

1. 什么是 $4^{3}\,$, $3^{4}\,$, $1^{250}\,$, ${250}^{1}\,$
2. 将这些数字写成 2 的幂：$128,8,1024\,$
3. 什么是 $(2^{3})*(2^{2})\,$
4. 什么是 $(2^{6})/(2^{2})\,$
5. 更难：为什么 $3^{0}=1\,$ （提示：考虑 ${3^{2}}/{3^{2}}\,$，例如）

点击这里查看 答案。

负指数

负指数的运算方式略有不同。假设您想计算 $3^{-2}$。为此，您可以取 $1/3^{2}$ 来得到答案。我们首先计算指数，参见 运算顺序

$3^{-2}={\frac {1}{3^{2}}}={\frac {1}{9}}$

指数运算不满足交换律。您可以自己试一下！尝试计算 2³，然后看看它是否等于 3² (答案在这里)。分配律和结合律也不适用。

然而，指数运算有自己的一套公理，它们始终遵循。与前面的例子一致，我们可以概括地说明

$(a^{b})\times (a^{c})=a^{b+c}\,\,\,\,$ 以及

$(a^{b})/(a^{c})=a^{b-c}\,\,\,\,$

也很容易看出 ${\begin{matrix}(a^{b})^{c}=a^{b\times c}\end{matrix}}$

分数指数

到目前为止，我们只看到了整数指数，但指数也可以是分数。对于分数指数，分子作为普通整数指数，而分母作为根。

一般而言，$a^{p/q}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}\,\,\,\,$ 对于任何实数 $q$ ≠ 0。

以 $8^{2/3}$ 为例。首先，我们将 8 乘以分子的指数 2。然后，由于分母是 3，我们对这个数字取三次方根。这个表达式读作“8 的平方开立方”，写作

$8^{2/3}={\sqrt[{3}]{8^{2}}}={\sqrt[{3}]{64}}=4$

因此，当分数指数的分子为 1 时，这个表达式就是一个简单的根。也就是说，$1/2$ 是平方根，$1/3$ 是三次方根，$1/4$ 是四次方根，等等。

例如，$9^{1/2}$ 读作“9 的平方根”，写作

$9^{1/2}={\sqrt[{2}]{9^{1}}}={\sqrt {9}}=3$

另请参见：根式