两年制学院预备代数/附录（程序）/带进位的整数乘法

乘法

乘法用星号 (*)、 $\times$ 或 $\cdot$ 符号表示。然而，X 符号通常不用于代数，而仅限于非常基础的初等数学，因为它很容易与“x”变量混淆。通用乘法运算符将接收任何两个数字（称为因子）作为操作数。结果称为这两个数字的乘积。如果乘数并非都以数字形式写出，则可以省略乘号。因此，以下示例表达式是等效的

$3*\!(a*b)=3\times \!(a\times b)=3\!\cdot \!(a\!\cdot \!b)=3\!\cdot \!(ab)=3(a\!\cdot \!b)=3(ab)=3ab$

乘法是重复加法的一种形式。例如 $3\times 5$ 表示

$3+3+3+3+3\quad \operatorname {or} \quad 5+5+5$

乘法也是可交换的。这意味着两个数字（因子）的乘法将给出相同的乘积，而不管数字相乘的顺序如何。

指数为大于 1 的整数的数字表示要相乘的因子数量，因此该数字自身乘以与指数所示次数相同的次数。指数为 1 的数字只有一个因子，因此等于该数字。任何指数为 0 的数字都没有因子，结果为 1。示例

$5^{3}=5\times 5\times 5\qquad \qquad 5^{1}=5\qquad \qquad 5^{0}=1$

长乘法

长乘法是大于 12 的数字的乘法，但通常只使用 1 到 9 的事实。在尝试长乘法之前，请确保您知道 1 到 9 的事实。其他的是可选的，但会使长除法稍微容易一些。垂直乘法方法的步骤如下

1. 写下数字。

  52
  19
 ------

2. 将 9 乘以 2。如果答案有十位数，则重新分组。将 9 乘以 5，加上重新分组，并写下数字。您应该有

  1
  52
  19
------
 468

3. 将 1 乘以 2，并将 1 乘以 5，如果需要则重新分组，但这次将答案向左移动一个空格。如果您愿意，可以在 8 下面放一个 0。您现在应该有

  52
  19
------
 468
 520

4. 现在相加。

 52
 19
-----
468
520
-----
988

如果您正在乘以小数，则在没有小数点的情况下乘以。计算两个数字中小数点后的位数，并将小数点后的位数相加。在答案中，计算小数点后需要移动的位数。将小数点放在那里。

5. 总结

垂直写下问题。将第二个数字的最后一位乘以第一个数字的最后一位。如果答案有十位数，则重新分组。用它乘以倒数第二位，并加上重新分组。对第二个数字的倒数第二位重复此过程，但在您之前得到的数字下方的行末尾放一个 0，如果第三行放 2 个 0，并重复此过程，直到问题完成。

快速乘法

快速乘法是指您可以通过简单地使用“10”的乘法方法来合理地将大于 10 小于 1000 的数字相乘的方法。这是通过识别数字中有多少位来完成的。以下是一些对快速乘数非常有用的步骤

1. 看看您是否可以识别末尾的任何零，并将它们简单地“添加到”您的答案中。

  45,300 x 5
  The easy way to do this is "taking away" the 2 zeros for now and reserving them for later.
  
  the number is now 453 x 5, which is much too mind boggling to do. 
  Now here comes the interesting part of the method
  of "10's"

2. 将数字分解成它的“10”部分

  What this means is basically breakup the number by its place value.

  453 = 4 (hundreds place) + 5 (tens place) + 3 (ones place)

  Knowing that, this become 400, 50 and 3.

3. 相乘并应用“10”部分

  okay now simply multiply:

  So, here is a step where we essentially take out the "0's" out for a bit and put it back
  in when were done.

  so, its now 5 x 400. in order to make it easier, "take out" the zeroes for now and 
  multiply 4 x 5 = 20. Now
  heres the magic. Since you magically took away the 2 zeroes, you will now suddenly make
  the 2 zeroes reappear!
  20 + "00" = 2000! AMAZING! (the quotes means they're magic zeroes, and simply not the value 
  of zero!)

  50 is done the same away. Take away the "0" and multiply 5 x 5 = 25. Now add it back, 25 +
  "0" = 250

  Simply 3 x 5 = 15

4. 现在，变变变，将它们全部加起来！

5. 现在取您在开头预留的两个零（来自原始的 45,300），并将它们添加到末尾以获得您的答案：226,500。

步骤 2：乘以非零友好的数字

  2102 x 52

使用之前的步骤，识别出

2102 = 2 (thousand) + 1(hundred) + 0 (tens) + 2 (ones)
  52 = 5 (tens) + 2 (ones)

Now, to make it easier on yourself, circle the number 2 of "52" and put it in your magic 
hat. (2)

Now the problem becomes 2102 x 50. Look familiar? First of all, take out the magic "0" and 
put it in the hat, too.
Since we recognized that 50 is basically 5 with an added magical "0" to it, we now see the 
problem as

2102 x 5!

Now break down the bigger, uglier number and start multiplying:
2000 x 5 (take away the magic zeroes) = 2 x 5 = 10 + "000"(now put them back!) = 10,000 (notice it has 4 zeroes)
 100 x 5 (take away the magic zeroes) = 1 x 5 = 5 + "00"  (now put them back!) =   500 (2 zeroes)
   2 x 5  (sadly, no magical zeroes)  = 2 x 5 = 10                             =    10 (1 zero)

 Remember, after every step, be sure to put your friendly magical "0" back in:
 10,000 + "0" =100,000  
    500 + "0" =  5,000
     10 + "0" =    100
   (notice how the number of zeroes on the left side equal the number of zeroes on the right
   side)

Now add them all together:

 100000
   5000
    100
 -----
 105100....... That's not all yet folks! Do you remember the 2 in your magic hat? Lets get it to work:

  2 x 2102 = 
      2000 x 2 = 2 x 2 = 4 = 4000
       100 x 2 = 1 x 2 = 2 =  200
         2 x 2             =    4
                     total:  4204

  So the answer should be
   105,100
     4,204
   -------
   109,304! Wow!

练习

答案

除法

除法使用 ÷ 符号。它也可以用斜杠 /、: 或分数线表示。一般的除法运算符可以接受任意两个数作为操作数。÷ 符号前的数称为被除数，÷ 符号后的数称为除数。结果称为这两个数的商。

除法不是交换运算。交换被除数和除数可能会得到不同的商 (但有时不会)。除数为 0 的除法没有定义。它没有答案。

例子

$4/2=2$ 和 $2/4=0.5$

长除法

在算术中，长除法是一种用于进行两个实数之间除法的算法。它只需要写下数字的手段，即使对于大型被除数也易于执行，因为该算法将一个复杂的除法问题分解成较小的问题。但是，该过程需要将各种数字除以除数：对于一位数除数来说，这很简单，但对于较大的除数来说就变得更加困难了。

该方法的更广义版本用于对多项式进行长除法（有时使用称为合成除法的简写版本）。

在长除法符号中，500 ÷ 4 = 125 表示如下

{\begin{matrix}\quad 125\\4{\overline {)500}}\\\end{matrix}}

该方法涉及几个步骤

1. 以这种形式写出被除数和除数

4{\overline {)500}}

在本例中，500 是被除数，4 是除数。

2. 考虑被除数的最左边的数字 (5)。找到小于最左边数字的除数的最大倍数：换句话说，在脑海中执行“5 除以 4”。如果这个数字太小，则考虑前两位数字。

在本例中，小于 5 的 4 的最大倍数是 4。将这个数字写到被除数的最左边数字的下方。将倍数除以除数 (4 除以 4 = 1) 写到被除数的最左边数字上方的线上。

{\begin{matrix}1\\4{\overline {)500}}\\4\end{matrix}}

3. 从被除数中使用的数字中减去被除数下方的数字。将结果（余数）（5 − 4 = 1）写在最下面数字的下方，然后将零（第二位数字）放到它的右边。

{\begin{matrix}1\\4{\overline {)500}}\\{\underline {4}}\\\;\,10\end{matrix}}

4. 重复步骤 2 和 3，但使用你刚刚创建的数字进行除法，并在第二位数字的上方和下方写下结果。

{\begin{matrix}\,\,12\\4{\overline {)500}}\\{\underline {4}}\\\;\,10\\\quad {\underline {8}}\\\quad \;\,20\end{matrix}}

5. 重复步骤 4，直到被除数中没有剩余的数字。线上方写的数字就是商，最后计算的余数就是整个问题的余数。

{\begin{matrix}\quad 125\\4{\overline {)500}}\\{\underline {4}}\\\;\,10\\\quad {\underline {8}}\\\quad \;\,20\\\quad \;\,{\underline {20}}\\\qquad 0\end{matrix}}

示例

答案