小学数学/因式分解方法

一种面向儿童的质因数分解方法

在数学中，找到正确答案的方式与得到正确答案本身一样重要。有时，找到答案的方式可以被认为是一种证明。人们在谈论算术问题时通常不使用“证明”这个词，但我认为这是一个好主意，也是一个好习惯。这是一种质因数分解方法，它在得到答案的同时构建了一个证明，证明你的答案是正确的。它可以防止你迷路并展示你的工作。更重要的是，我认为它可以帮助你理解这个过程。它从非常简单的开始，因此初学者可以使用它，但后来允许你跳过一些步骤以节省时间。

质因数分解的基本目的是取一个数字并找到它的质因数。由于每个质因数可能出现不止一次，例如在数字 4 中，它的质因数是 (2,2)，我们知道一个数字的因数不是一个集合，而是一个多重集。（随着你进入更高级的数学，这个区别将变得很重要。）因此，我们将执行我们工作的基本方法如下所示

   pf(X)
= { a reason we believe this}
   (a list of factors)

例如，对于数字 4，我们可以这样分解它

   pf(4)
= { 4 = 2 * 2 }
   (2,2)

这是一个非常简单的证明，也代表了人们有时所说的“展示我们的工作”或我们的“草稿纸”。学习数学通常是学习数学的语言和符号，现在我们需要做到这一点。

我用符号 pf(X) 表示“X 的质因数”。我使用括号之间的逗号分隔的数字或“pf(X)”符号来表示一个质因数的多重集。所以 (pf(45),2,5) 表示“包含 45 的质因数、质数 2 和质数 5 的多重集”。

现在，对于质因数分解，我们只允许某些原因从一步到下一步走向答案。例如，“我的朋友哈罗德说的”不是一个好的理由。

我们将允许的第一个原因是形式为 x = y * z 的简单乘法方程。特别是，我们被允许这样做

   pf(x)
= { x = y*z }
   (pf(y),pf(z))

只要方程 x = y* z 为真（并且 y 和 z 都大于 1，否则我们将陷入循环！）

我们被允许使用的第二个规则是用 (x) 替换 pf(x)，如果我们确信 x 是一个质数。例如，你应该记住前十个质数：（2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29），所以用 23 替换 pf(23) 是可以的，因为我们应该心知肚明 23 是质数。当我们这样做时，我们给出理由“23 是质数”。

最后，我们需要注意到 ((X)) = (X)，无论 X 是什么，所以我们不需要在括号内写括号（这对于乘法不适用，它只适用于我们使用括号来表示特殊含义的情况）。

所以让我们举个例子

   pf(4)
= { 4 = 2 * 2 }
   (pf(2), pf(2)
= { 2 is prime}
   (2,2)

因此，在这个例子中，我们链接了两个步骤，每个步骤都有一个非常简单的理由。当你刚开始的时候，这是一个好主意。但是，数学家也希望高效，所以如果你确信自己正在做什么，你可以一次执行两个步骤

   pf(4)
= { 4 = 2 * 2, 2 is prime}
   (2,2)

请注意，无论我们执行一步、两步还是更多步，我们实际上都是在创建方程。如果我们删除中间步骤，结果是 pf(4) = (2,2)，这可能与人们在考试中想要的结果一致。

现在让我们做一个更难的

   pf(60)
= { 60 = 6 * 10 }
   (pf(6), pf(10))
= { 6= 2* 3, 10 = 2* 5 }
   (2,3,2,5)
= { commutativity of multiplication}
   (2,2,3,5)

乘法的交换律是一个规则，它只允许我们重新排列因数。将它们按照顺序排列在我们的列表中很好，所以我们经常在最后这样做。但这写起来太长了，所以我们将缩写它为 { com. of mult. } 此外，请注意，在第二步中，我删除了不必要的括号，而不是写成 ((2,3), (2,5))。

现在让我们做更难的一个，它仍然很简单，因为质因数都很小，并且很容易看到这些因数。

   pf(450)
= { 450 = 45 * 10 }
   (pf(45), pf(10)}
= { 45 = 5 * 9, 10 = 2 * 5 }
   (5,pf(9),2,5)
= { 9 = 3 * 3 , com. of mult.}
   (2,3,3,5,5)

现在我们看到了一种可能出错的方式——如果我们忘记了 9 不是质数，而写成了 (5,9,2,5)。希望我们会注意到，但我们需要小心！

当因数不明显时

我认为当因数很容易看到时，这是一种很好的方法。但不幸的是，有时它们根本看不出来，在这种情况下我们需要一个新的符号来表达我们的工作。

考虑数字 143。它是质数，还是有因数？好吧，这并不明显。找到任何因数或证明一个数字是质数的基本方法是从第一个质数（数字 2）开始，看看它是否是因数。通过系统地向上遍历每个质数，我们要么找到一个因数，要么到达一个大于该数字平方根的质数，在这种情况下，我们知道该数字是质数。

然而，这有时是一项艰巨的任务，我们真的很想以一种帮助我们跟踪进展并可以快速检查以确保我们没有犯任何错误的方式展示我们的工作。

我们可以用符号 nu(X,Y) 来做到这一点，它表示“Y 的质因数的多重集，了解到从 X（包括 X）到 X 的所有数字都不能整除 Y”。因此，我使用“不可被 X 整除”函数 nu 既可以帮助记住已经检查过的内容，但我也定义了它，以便我的方程始终在技术上为真。我们想要这个符号的原因是我们知道这是证明一个数字是质数的方式——你证明 nu(sqrt(Y),Y)，然后你就知道 Y 是质数。例如，如果你知道 nu(13, 123)，你就知道 123 是质数，因为 13*13 > 123。我们可以用 { X 不是偶数} 的理由引入 nu(2,X)。如果我们知道 nu(2,X)，那么我们就可以用 { X 的数字和不可被 3 整除} 的理由引入 nu(3,X)。

所以让我们试试这个

   pf(143)
= { 143 is not even }
   (nu(2,143))
= { 1+4+3 not divisible by 3 }
   (nu(3,143))
= { 143 doesn't end in 5 }
   (nu(5,143))
= { 143 / 7 = 20 and 3 / 7 }
   (nu(7,143))
= { 143 / 11 = 13!!}
   (11,pf(13))
= { 13 is prime }
   (11,13)

所以这就是我们的答案。现在在这种情况下，我们必须使用一个由除法得出的理由：143/ 7 不是一个整数，而是 20 和 3/ 7。而且，我们惊讶地发现 11 可以整除 143。让我们试试更难的。 （注意，我使用的是 Dr. Math 网站上的可除性测试：http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.divisibleto50.html，而不是像许多可除性测试那样进行除法，但如果我不得不进行考试，我会使用除法，因为我没有记住这些规则。）

   pf(1709)
= { not even, doesn't sum to 3, doesn't end in 5 }
   (nu(5,1709))
= { 170+45 = 215, not divisible by 7 (x5 and add rule for 7) }
   (nu(7,1709))
= { 1709/ 11 leaves 609, 609/ 11 leaves 59 (short division)}
   (nu(11,1709))
= { 170+ 4*9 = 206, 20+24 = 48 not divisible by 13 (x4 and add rule for 13) }
   (nu(13,1709))
= { 170-45 = 125, not divisible by 17 (x5 and subtract rule for 17) }
   (nu(17,1709))
= { 170+18 = 188, not divisible by 19 (x2 and add rule for 19)}
   (nu(19,1709))
= { 170+63 = 233, not divisible by 23 (x7 and add rule for 23)}
   (nu(23,1709))
= { 170+27 = 197, 19+21 = 40, not divisible by 29 (x3 and add rule for 29)}
   (nu(29,1709))
= { 170 - 27 = 143, 14 - 27 = -13, not divisible by 31 (x3 and subtract rule for 31)}
   (nu(31,1709))
= { 170 - 99 = 71, not divisible by 37 (x11 and subtract rule for 37)}
   (nu(37,1709))
= { 170 - 36 = 134, 41* 3 = 123 (x4 and subtract rule for 41) }
   (nu(41,1709))
= { 4*43 = 172, 3 * 43 = 129, 1720+129 = 1849, so by nu rule we are done!}
   (1709)

通过系统地从 2 向上遍历到该数字的平方根，我们总是可以跟踪我们的进展。例如，如果我们从 6 * 1709 = 10254 开始，我们将得到

   pf(10254)
= { even}
   (2,pf(5127))
= {5+1+2+7=15 = 3 * 5 }
   (2,3,pf(1709))
.....
   (2,3,1709)

然后证明将像上面那样进行，始终包含质因数 2 和 3。

建议孩子们使用这种方法来写出他们的工作，以便培养良好的习惯，这些习惯将在代数和其他更高级的数学计算中得到回报，并逐渐引入重要的证明概念。

有时人们会看到有人建议用因数树作为符号。因数树可能对可视化某些事物有用，但如果一个人不能看到因数，它们就毫无用处！