小学数学/概率
在数学中，概率告诉我们某件事发生的可能性。
如果某件事绝对确定会发生，我们说它的概率为一。如果某件事不可能发生，我们说它的概率为零。概率在零和一之间意味着我们不能确定会发生什么，但数字越高，某件事发生的可能性就越大。如果某件事的概率为 0.25，大多数人会说“它可能不会发生”。
不幸的是，孩子们很难理解 0.25 的概率意味着什么。孩子们更擅长理解百分比（25%）和分数（即“它大约会发生 ¼ 的时间”）中的概率，因此将概率与这些技能和理解的发展联系起来非常重要。
概率很难教，但最好用模型来教。两个最有效且常用的用来教概率的模型是面积和树状图。
面积图让学生了解某件事发生的可能性，通过为该概率保留的空间大小来体现。考虑抛硬币。
学生可以想象，每次他们抛硬币时，都需要将硬币放到矩形的相应一边。随着抛掷次数的增加，将硬币围住所需的面积在两边都会相同。相同的概率可以使用树状图来表示。
在这个简单的树状图中，每条线（或事件路径）将被跟随 ½ 的时间。请注意，这两个图都显示了所有可能性，而不仅仅是某一事件的概率。
这两个模型都可以变得更加复杂。考虑连续抛两次硬币的所有可能性。
在上面的面积矩形中，连续两次抛出正面硬币的实例用左上角表示。请注意，抛出正面和反面（任何顺序）的概率是 50% 或 1/2，而连续抛出两次正面的概率是 25% 或 1/4。
虽然树状图提供相同的信息，但学生需要理解底部所有事件发生的可能性相同（这在面积图中更直观）。然而，树状图的优点是更好地显示了事件的时间顺序（在本例中，事件的顺序由向下运动表示）。
虽然这两个模型似乎都有优缺点，但这并不是重点。通过熟悉这些模型和其他模型，学生对概率的本质有了更强大和多元的理解。
考虑以下问题
如果任何时候一只狗生下雄性幼犬的可能性与生下雌性幼犬的可能性相同，并且她生了一窝 5 只幼犬，那么这窝幼犬全部为同一性别的概率是多少？
虽然这个问题可以用标准公式轻松解答，，其中 n 是出生的幼犬数量，这种命名法不仅对学生来说难以理解，而且教给学生这种命名法并不会让他们理解底层概念。另一方面，如果他们用树状图探索过类似的问题，他们应该能够很容易地看到出现的模式，从而推断出找到正确答案的“公式”。假设一个学生画了一个树状图，显示了三个幼犬的窝的排列。
如果老师让这个学生分享他们的作品，班上的学生在查看这个模型时会发现有 8 种可能的结果。他们还会注意到，只有一窝全是雄性或全是雌性的情况出现在树的两端。
学生总是被鼓励在许多数学探索中寻找模式。在这里，学生开始注意到，可能性数量可以通过将数字 2 自身乘以与新结果出现的次数相同的次数来确定。在本例中，三个结果（出生的幼犬）连续发生。所以 2 x 2 x 2 = 23，或 8 种可能的结果。一旦学生看到与这种模式的联系，他们可能会推断出如果一窝有 5 只幼犬，则可能的结果数量是 25，或 32，其中只有 2 种（由组合 MMMMM 和 FFFFF 在两端表示）将导致一窝全是相同性别的幼犬。
老师总是希望学生将他们正在学习的其他技能联系起来。在本例中，老师可能会要求学生用简化分数 (1/16) 和百分比 (6.25%) 表示答案。
由于我们正在使用数学来帮助我们理解会发生什么，因此能够写出这样的等式可能会有所帮助
Pr(X) = y
如果此等式为真，我们就会说“事件 X 发生的概率为 y”。例如，我们可以说
X = 抛硬币出现正面
Pr(X) = 0.5
由于字母 X 代表的是事件，而不是数字，我们不想将它们混淆，因此我们将使用大写字母表示事件，使用小写字母表示数字。符号 Pr 表示一个函数，它具有一些不错的属性，但目前我们只将其视为“事件 X 的概率”的简短写法。
由于概率始终是 0 和 1 之间的数字，因此我们通常将它们表示为百分比或分数。当有人说“我 100% 确定我的球队会赢”时，百分比似乎很自然。但是，分数在实际计算概率方面更有意义，并且能够计算概率来尝试做出明智的决定非常有用，因此我们将在本文中使用分数。
计算事件概率的基本规则很简单，如果事件是您试图计算概率的事件（称为 X），并且事件是基于公平随机性的已知选择集中的确定选择。并非所有事情都是这样，但是抛硬币、掷单个骰子、抽取一张牌或闭着眼睛从袋子里抽取一张票都是随机且公平的，因为每种可能性都同样有可能。但是，像两个骰子之和这样的稍微复杂的事情的概率并不那么容易——这使得它变得有趣！
假设我们有一个骰子。它有六个面，据我们所知，如果我们掷骰子，每个面朝上的可能性相同。我们现在可以使用我们计算概率的基本规则来计算每个可能结果的概率。基本规则是取代表事件（称为 X）的结果数量，并将该数量除以所有可能结果的总数。因此，对于掷骰子
Pr(“得到 1”) = 1 个有 1 个点的面 / 6 个面 = 1/6
Pr(“得到 2”) = 1 个有 2 个点的面 / 6 个面 = 1/6
Pr(“得到 3”) = 1 个有 3 个点的面 / 6 个面 = 1/6
Pr(“得到 4”) = 1 个有 4 个点的面 / 6 个面 = 1/6
Pr(“得到 5”) = 1 个有 5 个点的面 / 6 个面 = 1/6
Pr(“得到 6”) = 1 个有 6 个点的面 / 6 个面 = 1/6
因此，我们有 6 种可能性，每种可能性都有 1/6 的概率。我们知道 6 * (1/ 6) = 1。实际上，这是一个概率基本规则的示例
所有可能性的概率之和等于一。
但是您可能知道骰子的每个面朝上的可能性相同，因此到目前为止，我们还没有做任何有用的事情。因此，让我们问一个问题：如果您掷两个骰子，并将它们加在一起，它们的总和等于 7 的概率是多少？知道这一点可以帮助我们在很多游戏中获胜（例如大富翁（Parker Brothers 商标）），因此知道答案非常有价值。
为了找到答案，我们应用基本规则，但是现在我们并不知道将两个骰子一起掷出有多少种可能的结果等于 7。但是，知道有多少种总可能的结果很容易：6 乘以 6 = 36。找到有多少种可能的骰子掷出结果之和等于 7 的一种方法是列出一个包含所有可能骰子掷出的结果的表，并计算 7 的数量。这里有一个
***| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 =========================== 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10| 11 6 | 7 | 8 | 9 | 10| 11| 12
顶部的数字表示第一个骰子上的值，左边的值表示您将它们一起掷出时第二个骰子的值。表中的值表示第一个和第二个骰子的总和。（请注意，数字范围从 2 到 12——不可能掷出两个骰子得到小于 2 的数字！）
因此，如果我们仔细观察，我们可以看到该表中正好有 6 个 7。因此，如果您掷出两个骰子，得到 7 的概率是 36 中的 6 个，或者
Pr(得到 7) = 6 / 36 = 1 / 6。
(1 / 6 是与 6 / 36 相等的简单分数。)
也许这并不让你感到意外，但让我们看看所有可能性。
Pr(得到2) = 1 / 36
Pr(得到3) = 2 / 36
Pr(得到4) = 3 / 36
Pr(得到5) = 4 / 36
Pr(得到6) = 5 / 36
Pr(得到7) = 6 / 36
Pr(得到8) = 5 / 36
Pr(得到9) = 4 / 36
Pr(得到10) = 3 / 36
Pr(得到11) = 2 / 36
Pr(得到12) = 1 / 36
你觉得如果我们将所有这些概率加在一起会得到什么？它们应该等于 36 / 36，对吧？检查一下它们是否相等。
你知道得到 5 的概率是得到 2 的概率的四倍吗？你知道得到 5、6、7 或 8 的概率比其他 7 个数字的概率加起来还要高吗？如果我们谈论的事件是完全独立的，就像在这种情况下一样，我们可以通过将概率加在一起来了解这些事情。因此，我们甚至可以写下
Pr(得到 5、6、7 或 8) = Pr(得到 5) + Pr(得到 6) + Pr(得到 7) + Pr(得到 8)
但我们可以用这些分数代替并轻松地将它们加起来得到
Pr(得到 5、6、7 或 8) = (4+5+6+5)/36 = 20/36。
由于我们知道所有可能事件的概率必须等于 1，因此我们可以实际使用它来计算概率
Pr(得到 2、3、4、9、10、11 或 12) = 1 - (20/36) = (36/36 - 20/36) = 16/36。
这样，我们就不必把所有这些单独的概率加起来，我们只需要从 1 中减去我们的分数。
在数学上，我们可以说：Pr(某些事件) = 1 - Pr(所有其他可能事件)
你现在可能想花点时间拿两个骰子，掷 3*36 = 108 次，每次记录它们之和。你为每个和得到的数字不会正好是 3 倍于我们计算出的概率，但它应该非常接近！你应该得到大约 18 个七。这对和朋友一起玩很有趣；你可以让每个人掷 36 次，然后将所有结果加起来，得到所有可能的和。
如果你掷很多次，结果很可能接近某一结果的概率乘以掷的次数，这一事实被称为大数定律。它将概率的数学与现实联系起来，让你可以用数学来做出一个好的决定，关于你可能会在游戏中掷出什么，或者任何其他你可以计算或估计概率的事情。
以下是一项家庭作业，供你们每个人完成：计算掷两个骰子的所有可能和的概率，但使用两个不同的骰子：一个只出现 1、2、3 或 4，另一个出现 1、2、3、4、5、6、7 或 8。注意，这些骰子（如果你愿意，可以在游戏商店买到）的最低和最高可能的掷骰次数是一样的，但可能的掷骰次数只有 4 * 8 = 32。
***| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 ===================================== 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10| 11 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10| 11| 12
Pr(得到 2) = 1 / 32
Pr(得到 3) = 2 / 32
Pr(得到 4) = 3 / 32
Pr(得到 5) = 4 / 32
Pr(得到 6) = 4 / 32
Pr(得到 7) = 4 / 32
Pr(得到 8) = 4 / 32
Pr(得到 9) = 4 / 32
Pr(得到 10) = 3 / 32
Pr(得到 11) = 2 / 32
Pr(得到 12) = 1 / 32
(你应该通过确保所有这些概率之和为 32/32 = 1 来检查我们的工作）。
所以这很有趣：虽然掷两个骰子的可能得分相同，但概率略有不同。由于 1/32 略大于 1/36，因此你实际上更有可能以这种方式得到 2 或 12。由于 4 /32 = 1/8 小于 6 / 36 = 1/6，因此你用这些骰子掷出 7 的概率较小。你可能已经猜到这一点，但通过计算，你就能确信无疑，而且如果你知道如何减去分数，你甚至知道减去了多少。
所以让我们回顾一下我们学到的知识。
- 我们知道概率一词的含义。
- 我们知道概率始终是 0 到 1 之间的数字。
- 我们知道计算一些常见概率的基本方法。
- 我们知道所有可能结果的概率之和应精确等于 1。
- 我们知道某一结果的概率等于 1 减去所有其他结果的概率。