小学数学/平均数、中位数和众数

平均数、中位数和众数

有三种主要的集中趋势测度，以及一些不太常用的测度，它们都以自己的方式告诉我们一组数据的典型值是什么。通常，在寻找集中趋势测度时，需要将数据集中的值按从小到大排序。

众数

众数是指在一组数字中出现次数最多的数字。例如，如果一个班级里有七个 12 岁的孩子，十个 13 岁的孩子，四个 14 岁的孩子，那么众数是 13，因为 13 岁孩子的数量比任何其他年龄段的孩子都多。在选举中，众数通常被称为多数票，获得最多票数的候选人获胜，即使他们没有获得多数票（超过一半）的票数。

中位数

中位数是指一组值中的中间值。例如，如果学生在一项测试中分别取得 81 分、84 分和 93 分，那么我们选择 84 作为中位数。

如果你有偶数个值，则使用两个中间值的平均值作为中位数。例如，81、84、86 和 93 的中位数是 85，因为它是两个中间值 84 和 86 的中间值。

平均数

简单平均数或算术平均数（有时简称为“平均数”或“平均值”），是指所有值的总和除以值的个数。例如，如果学生在一项测试中分别取得 81 分、84 分和 93 分，那么平均数是 86 分。

平均值

在数学中，平均值的定义取决于不同的上下文。

在概率和统计学中，平均值和期望值被同义地使用，指的是概率分布或该分布所刻画的随机变量的集中趋势的一种测度。[1] 在随机变量 X 的离散概率分布的情况下，平均值等于每个可能值的总和乘以该值的概率，也就是说，它是通过将 X 的每个可能值 x 与其概率 P(x) 相乘，然后将所有这些乘积加在一起计算的，给出 {\displaystyle \mu =\sum xP(x)} \mu =\sum xP(x)。[2] 一个类似的公式适用于连续概率分布的情况。并非所有概率分布都具有定义的平均值；例如，柯西分布就是一个例子。此外，对于一些分布，平均值是无限的：例如，当值 {\displaystyle 2^{n}} 2^{n} 的概率是 {\displaystyle {\tfrac {1}{2^{n}}}} {\tfrac {1}{2^{n}}} 对于 n = 1, 2, 3, ....

对于一个数据集，术语算术平均数、数学期望值，有时还包括平均值，被同义地使用，指的是一组离散数字的中心值：具体来说，是指所有值的总和除以值的个数。一组数字 x1, x2, ..., xn 的算术平均数通常用 {\displaystyle {\bar {x}}} {\bar {x}} 表示，读作“x 横”。如果数据集是基于从统计总体中抽样获得的一系列观测值，那么算术平均数被称为样本平均数（用 {\displaystyle {\bar {x}}} {\bar {x}} 表示），以区别于总体平均数（用 {\displaystyle \mu } \mu 或 {\displaystyle \mu _{x}} \mu _{x} 表示）。[3]

对于一个有限总体，某个属性的总体平均数等于考虑总体中每个成员时该属性的算术平均数。例如，总体平均身高等于所有个人身高的总和除以个人总数。样本平均数可能与总体平均数不同，尤其是在样本量较小的情况下。大数定律表明，样本量越大，样本平均数越有可能接近总体平均数。[4]

在概率和统计学之外，几何和分析中经常使用许多其他“平均值”的概念；以下列出了一些例子。

加权平均数

加权平均数或加权平均值类似于简单平均数，只有一个例外。在对各个值求和时，每个值都乘以一个权重因子，然后将总和除以所有权重因子的总和。这些权重因子使我们能够在计算最终值时将某些值视为比其他值“更重要”。

示例

假设我们有两个班级，一个有 20 个学生，另一个有 30 个学生。这两个班级在一项特定测试中的成绩是：

上午班 = 62、67、71、74、76、77、78、79、79、80、80、81、81、82、83、84、86、89、93、98

下午班 = 81、82、83、84、85、86、87、87、88、88、89、89、89、90、90、90、90、91、91、91、92、92、93、93、94、95、96、97、98、99

上午班的简单平均数是 80%，下午班的简单平均数是 90%。如果我们求 80% 和 90% 的简单平均数，我们会得到 85% 作为两个班级平均数的平均数。但是，这不是所有学生成绩的平均数。要找到它，需要对所有成绩求和，然后除以学生总数。

${\frac {4300\%}{50}}=86\%$

或者，你可以使用每个班级的学生人数作为权重因子，求出两个班级平均数的加权平均数

${\frac {(20)80\%+(30)90\%}{20+30}}=86\%$

请注意，即使我们不再拥有单个学生的成绩，而只有班级平均分和每个班级的学生人数，我们仍然可以通过以下方式找到所有学生成绩的平均值：找到两个班级平均分的加权平均值。

几何平均数

几何平均数 是两个值通过乘法而不是加减法得到的中间值。例如，3 和 12 的几何平均数是 6，因为您将 3 乘以相同的值（在本例中为 2）得到 6，就像您必须乘以 6 以获得 12 一样。求两个值的几何平均数的数学公式是

${\sqrt {AB}}$

其中

A = one value
B = the other value

因此，在我们的案例中

${\sqrt {3(12)}}={\sqrt {36}}=6$

请注意用于表示乘法的新的符号。现在我们可以省略乘号，简单地显示 AB 来表示 A×B。但是，当使用数字时，312 会让人感到困惑，因此我们至少在一个数字周围加上括号以使其清晰。

几何平均数可以扩展到更多值

${\sqrt[{3}]{(2)(9)(12)}}={\sqrt[{3}]{216}}=6$

对于三个值，执行立方根而不是平方根。在四个值上，执行四次根。