概率论/柯尔莫哥洛夫与现代公理及其意义

基本定义

定义 2.1（柯尔莫哥洛夫公理）:

设$\Omega$ 为一个集合，设${\mathcal {F}}$ 为 $\Omega$ 的子集的代数。进一步设$P:{\mathcal {F}}\to [0,1]$ 为一个满足以下条件的函数

1. $P(\Omega )=1$ 以及
2. $P(A+B)=P(A)+P(B)$.

则三元组$(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ 称为概率空间。

特别注意

$P(\emptyset )=0$,

因为$P(\Omega )=P(\Omega +\emptyset )=P(\Omega )+P(\emptyset )$。

请注意，概率空间通常被定义为子集的代数是一个σ-代数。我们将在后面重新讨论这些概念，并限制在上述定义中，这似乎很好地捕捉了概率的直观概念。

基本定理

在下文中，$(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ 将始终是一个概率空间。

引理 2.2:

对于$A\in {\mathcal {F}}$，

$P(A)+P(A^{c})=1$.

引理 2.3:

对于$A_{1},\ldots ,A_{n}\in {\mathcal {F}}$，

$P\left(\sum _{j=1}^{n}A_{j}\right)=\sum _{j=1}^{n}P(A_{j})$.

引理 2.4:

对于 $A,B\in {\mathcal {F}}$,

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$.

练习

• 练习 2.2.1：证明引理 2.2-2.4。