谜题|分析性谜题|令人惊讶的极限|解法
2 π n ! e = 2 π n ! + 2 π n ! 2 + 2 π n ! 3 ! + 2 π n ! 4 ! + . . . {\displaystyle 2\pi n!e=2\pi n!+{\frac {2\pi n!}{2}}+{\frac {2\pi n!}{3!}}+{\frac {2\pi n!}{4!}}+...}
由于正弦是一个周期函数，添加或减去 2 π {\displaystyle 2\pi } 的倍数不会改变结果，因此可以丢弃右侧的前几项（那些 n ! z ! {\displaystyle {\frac {n!}{z!}}} 是整数，因此 n 大于或等于 z 的前几项），得到
lim n → ∞ n sin ( 2 π n ! e ) = lim n → ∞ n sin ( 2 π n + 1 + 2 π ( n + 1 ) ( n + 2 ) + . . . ) . {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }n\sin(2\pi n!e)=\lim _{n\rightarrow \infty }n\sin({\frac {2\pi }{n+1}}+{\frac {2\pi }{(n+1)(n+2)}}+...).}
由于当 x {\displaystyle x} 很小时 sin ( x ) ≈ x + . . . {\displaystyle \sin(x)\approx x+...} (泰勒展开式 of 正弦)，极限是
lim n → ∞ n sin ( 2 π n + 1 ) = lim n → ∞ n 2 π n + 1 = 2 π {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }n\sin({\frac {2\pi }{n+1}})=\lim _{n\rightarrow \infty }n{\frac {2\pi }{n+1}}=2\pi } .
