谜题/决策谜题/蒙提霍尔问题/解决方案

你最初选择的门有 1/3 的概率是奖品所在的门，而另一扇门有 2/3 的概率是奖品所在的门。

因此，如果你想要奖品，最好换门；如果你想要一只可爱的羊，最好坚持你选择的门。

推理

有三扇门：你最初选择的门，蒙提打开的门，以及第三扇门。由于剩下两扇门，其中一扇有奖品，因此有人可能会认为，无论如何都有 1/2 的概率获得奖品。

但是，在蒙提打开任何门之前，你最初选择的门有 1/3 的概率包含奖品。当蒙提打开另一扇门时，你对最初选择的门的了解没有增加。因此，你最初选择的门包含奖品的概率仍然是 1/3，而不是 1/2。

然而，当蒙提打开一扇有羊的门时，那扇门包含奖品的概率降至 0。由于概率必须加起来为 1，并且你最初选择的门包含奖品的概率仍然是 1/3，所以第三扇门包含奖品的概率上升到 2/3。这种概率的上升只是因为你了解到蒙提决定不开那扇特定的门。

计算

令 $D_{p}$ 为你最初选择的门；令 $D_{o}$ 为蒙提打开的门；令 $D_{r}$ 为第三扇门，也是剩下的门。 $C$ 是汽车或其他奖品，而 $G$ 是任何羊。假设你选择了第三扇门 $D_{r}$ ，那么这扇门包含奖品的概率 $p$ 是多少？

${\begin{matrix}p&=&P(D_{r}=C|D_{o}=G)\\&=&P(D_{r}=C,D_{p}=C|D_{o}=G)+P(D_{r}=C,D_{p}=G|D_{o}=G)\\&=&P(D_{r}=C|D_{p}=C,D_{o}=G)P(D_{p}=C|D_{o}=G)\\&&+P(D_{r}=C|D_{p}=G,D_{o}=G)P(D_{p}=G|D_{o}=G)\\&=&\underbrace {P(D_{r}=C|D_{p}=C,D_{o}=G)} _{=0}\underbrace {P(D_{p}=C)} _{={\frac {1}{3}}}\\&&+\underbrace {P(D_{r}=C|D_{p}=G,D_{o}=G)} _{=1}\underbrace {P(D_{p}=G)} _{={\frac {2}{3}}}\\&=&0*{\frac {1}{3}}+1*{\frac {2}{3}}={\frac {2}{3}}\end{matrix}}$

逐行分析，这些方程表明

$p$ 等于在主持人打开一个有山羊的门的情况下，你的门 $D_{r}$ 含有山羊的概率。
我们将 $p$ 分成两种情况：一种是你的第一个选择 $D_{p}$ 隐藏着奖品 $C$ ，另一种是隐藏着山羊 $G$ 。现在 $p$ 是在主持人揭示山羊的情况下， $D_{r}$ 和 $D_{p}$ 都隐藏着奖品的概率，加上在主持人揭示山羊的情况下， $D_{p}$ 隐藏着奖品，并且 $D_{p}$ 隐藏着山羊的概率。
使用公式 $P(A,B)=P(A|B)P(B)$ ，我们声明，对于第二个分区，在蒙提揭示一只羊的情况下， $D_{r}$ 获奖的概率以及 $P_{p}$ 获奖的概率，等于在另外两个门都藏着羊的情况下 $D_{r}$ 获奖的概率，乘以在蒙提揭示一只羊的情况下， $D_{p}$ 获奖的概率。我们对第一个分区也做类似的处理。
蒙提总是揭示一只羊，而不是奖品，所以 $D_{o}=G$ 永远为真。我们从方程中去除这个条件。然后我们进行一些替换：门 $D_{p}$ （或任何门）藏着奖品的概率为1/3，藏着羊的概率为2/3。我们知道，如果门 $D_{p}$ 已经藏着奖品，那么门 $D_{r}$ 就不能藏着奖品，所以这个概率为0。但是，如果门 $D_{p}$ 和 $D_{o}$ 都藏着羊，那么 $D_{r}$ 就必须藏着奖品，概率为1。
我们计算零乘以1/3加上一乘以2/3，得到 $p={\frac {1}{3}}$ 。

直观地说，这意味着在2/3的情况下，我们最初选择了一只羊，主持人通过揭示另一只羊来向我们展示汽车在哪里。只有在1/3的情况下，我们最初选择了汽车，而改变我们的决定会导致我们选择一只羊。