谜题/逻辑谜题/10顶帽子/解答
第10个学生如果看到偶数个白帽子则说“白色”，如果看到奇数个白帽子则说“红色”（她将是唯一一个可能出错的人）。第9个学生现在看到她前面的8顶帽子。假设其中X顶是白色的。现在有四种可能性
- 第10个学生说“白色”且X为偶数：她戴着红帽子
- 第10个学生说“白色”且X为奇数：她戴着白帽子
- 第10个学生说“红色”且X为偶数：她戴着白帽子
- 第10个学生说“红色”且X为奇数：她戴着红帽子
第9个学生可以算出哪种情况发生，并说出她帽子正确的颜色。从那时起，学生们必须从总数中减去猜对的帽子，并再次应用奇偶推理（使用第10个学生所说的话，并计算他们前面白帽子的数量）。
通过转换，此解法有一个细微的变体：学生们不是戴红白帽子，而是戴着标有0或1的帽子。令x1,...,x10为学生帽子上的数字。令a1,...,a10为学生的答案。学生们按与第一个解法相同的降序回答。答案被递归定义为
- a10 = (x1+...+x9) mod 2
- a9 = (x1+...+x8+a10) mod 2
- a8 = (x1+...+x7+a9+a10) mod 2
- ...
这些等式可以简洁地描述如下：每个学生将他们看到的数字和他们听到的数字加起来。如果总和为奇数，学生说一，否则说零。为了证明ai === xi mod 2，令si = x1+...+xi并使用归纳法。
基本情况：a9 === x9 mod 2
证明
- s8 + x9 === a10 mod 2
- x9 === a10 + s8 mod 2
- x9 === a9 mod 2
归纳步骤：假设ai === xi mod 2对于i = n+1,..., 9成立，那么
- an === s(n-1) + a(n+1) +... + a10 mod 2（根据定义）
- an === s(n-1) + (s9 - sn) + a10 mod 2（根据归纳假设）
- an === xn + s9 + a10 mod 2
- an === xn mod 2（因为s9 + a10是偶数）
因此ai === xi mod 2对于i = n, n+1,..., 9成立
因此ai === xi mod 2对于i = 1,...,9成立，并且最多只有一个答案（a10）是错误的。
第10个学生将看到9顶帽子，只有1或2种颜色。其中一种颜色必须显示奇数个。如果第10个学生只说出哪种颜色显示奇数个，那么最初的设置可能会更容易让学生理解。其余的学生将通过与解答1中相同的逻辑推理得出正确答案。