量子图/度量图上的薛定谔方程

度量图上的薛定谔方程

考虑一个图 $\Gamma =(V,E)$，其中 $V$ 是顶点的集合，而 $E$ 是边的集合。每条边连接一对顶点；我们允许在任意两个顶点之间运行多条边。我们还允许连接顶点到自身的边（循环）。这种自由度带来了一些符号上的困难，因此我们要求读者灵活和宽容。

每条边 $e$ 被分配一个正长度 $L_{e}$，因此被识别为一个区间 $[0,L_{e}]$（方向是任意选择的，与最终的理论无关）。这使得 $\Gamma$ 成为一个度量图。现在，图上的函数只是一组定义在各个边上的函数的集合。

薛定谔算子的特征值方程为

${\begin{aligned}-{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+V(x)f(x)=\lambda f(x),\end{aligned}}$

它需要在每条边上都满足，此外还需要满足以下顶点匹配条件

${\begin{aligned}f(x)\ {\text{is continuous}},\\\sum _{e\sim v}{\frac {df}{dx}}(v)=0.\end{aligned}}$

连续性意味着顶点的值在连接到（或入射）顶点的所有边上的函数之间是相同的。在第二个条件中（通常称为电流守恒条件），求和是在连接到顶点的所有边上进行的，导数都是按照同一个方向进行的：从顶点到边。循环边对求和贡献两项，每段边一端。

函数 $V(x)$ 被称为电势，但在下面所有示例中我们将将其设置为完全为零。顶点条件 \eqref{eq:cont}-\eqref{eq:current_cons} 被称为Neumann 条件\footnote{其他出现在

 literature are ``Kirchhoff, ``Neumann-Kirchhoff, ``standard,
 ``natural etc.}; they can be generalized significantly, but before

我们再提供任何理论之前，让我们考虑一些例子。

示例：一个平凡的图 - 一个区间

区间 $[0,L]$ 是最简单的图的例子；它有两个顶点（区间的端点）和一条边。由于只有一条边，因此每个顶点的连续性条件为空。顶点 $0$ 处的电流守恒条件变为

${\begin{aligned}f'(0)=0,\end{aligned}}$

而在顶点 $L$ 处变为

${\begin{aligned}-f'(L)=0.\end{aligned}}$

负号出现是因为我们同意将导数指向边内；当然，在本例中它是冗余的。

设 $V(x)\equiv 0$ 并首先考虑正特征值， $\lambda >0$。特征值方程变为

${\begin{aligned}-f''=k^{2}f,\end{aligned}}$

为了方便，我们用 $\lambda =k^{2}$ 代替。这是一个具有常系数的二阶线性方程，对于 $k>0$ 可以很容易地解出

${\begin{aligned}f(x)=C_{1}\cos(kx)+C_{2}\sin(kx).\end{aligned}}$

应用第一个顶点条件 $f'(0)=0$ 我们得到 $C_{2}=0$ 且 $f(x)=C_{1}\cos(kx)$。第二个顶点条件变为

${\begin{aligned}C_{1}k\sin(kL)=0,\end{aligned}}$

这给 $k$ 加了一个条件，但没有确定 $C_{1}$ （很自然地，我们对平凡解 $f(x)\equiv 0$ 不感兴趣）。因此，我们得到 \emph{特征值} $\lambda =k^{2}=\left(\pi n/L\right)^{2}$，$n=1,2,\ldots$，以及对应的特征函数 $f(x)=\cos \left(\pi nx/L\right)$，这些函数在整体常数因子范围内定义（正如特征向量和特征函数应有的那样）。

在频谱中我们还漏了一个特征值：$\lambda =0$，其特征函数为 $f(x)\equiv 1$。虽然这与 $n=0$ 时上述公式一致，但当 $\lambda =0$ 时，方程式 (\ref{eq:f_solution}) 的前提不再正确。

练习 1

 Solve the eigenvalue equation with $\lambda <0$ and show that the
 vertex conditions \eqref{eq:NC1} and \eqref{eq:NC2} are never
 satisfied simultaneously (ignore the trivial solution $f(x)\equiv 0$).

练习 2

对标量积进行分部积分

Failed to parse (unknown function "\cc"): {\displaystyle \begin{aligned} \left\langle f, -f'' \right\rangle = \int_0^L \cc{f(x)} \left(-f''(x)\right) dx, \end{aligned} }

以获得显然非负的表达式，从而表明不需要求解 \eqref{eq:eig_eq_V0} 就可以得出没有负特征值的结论。

我们没有试图寻找复特征值。这是因为我们定义的薛定谔算符是自伴随的（见 \cite{BerKuc_graphs} 的定理 1.4.4），因此具有实频谱。上面例子中的频谱是离散的：所有特征值都是孤立的，并且具有有限的重数。对于任何紧凑图（具有有限个边，所有边都具有有限长度）来说都是如此，见 \cite{BerKuc_graphs} 的定理 3.1.1。练习~\ref{hw:nonneg} 中概述的证明适用于所有顶点都具有 Neumann 条件的通用图。频谱中特征值 0 的重数可以证明等于图的连通分量的数量。

示例：具有二度顶点的可平凡化图

\label{sec:fake_vertex}

现在考虑一个由两个连续区间组成的图，$[0,L_{1}]$ 和 $[L_{1},L_{1}+L_{2}]$。我们实际上不需要从 0 开始对边进行参数化，因此在本例中我们将采用 *自然参数化*。

将两个区间上的特征函数的成分分别表示为$f_{1}$ 和 $f_{2}$。在第一条边上求解方程，并在 $0$ 处施加 Neumann 条件，得到 $f_{1}(x)=C\cos(kx)$。在点 $L_{1}$ 处的条件是

${\begin{aligned}&f_{1}(L_{1})=f_{2}(L_{1}),\\&-f_{1}'(L_{1})+f_{2}'(L_{1})=0.\end{aligned}}$

现在，根据二阶微分方程的唯一性定理，第二条边上的解完全由它在 $L_{1}$ 处的取值和导数的取值决定。因此，解仍然是 $f_{2}(x)=C\cos(kx)$，并且在 $L_{1}$ 处没有发生解的变化。我们可以考虑区间 $[0,L_{1}+L_{2}]$，而无需在 $L_{1}$ 处引入额外的顶点。这显然推广到以下规则：具有度数为 2 的 Neumann 顶点等效于具有不间断的边。

例如，当想要编程一个循环边，但受到循环或多条边的符号表示困难的困扰时，此规则非常有用。在这种情况下，循环边可以实现为具有两个度数为二的虚拟顶点的三角形。

示例：具有 Neumann 端点的星形图

\begin{figure}

 \centerline{\includegraphics{f_stargraph}}
 \caption{A star graph with three edges.}
 \label{fig:stargraph}

\end{figure}

现在考虑第一个非平凡的例子：一个在中心顶点处有 3 条边相交的星形图，参见图~\ref{fig:stargraph}。从端点到中心顶点参数化边，我们得到

${\begin{aligned}&-f_{1}''=k^{2}f_{1},\quad -f_{2}''=k^{2}f_{2},\quad -f_{3}''=k^{2}f_{3},\\&f_{1}'(0)=0,\quad f_{2}'(0)=0,\quad f_{3}'(0)=0,\\&f_{1}(L_{1})=f_{2}(L_{2})=f_{3}(L_{3}),\\&-f_{1}'(L_{1})-f_{2}'(L_{2})-f_{3}'(L_{3})=0,\end{aligned}}$

此外，除了我们已经熟悉的方程 \eqref{eq:star_equation} 和 \eqref{eq:neumann_per} (三个副本) 之外，我们还有方程 \eqref{eq:cont_central} 中的中心顶点连续性条件和方程 \eqref{eq:cur_cons_central} 中的中心顶点电流守恒条件。请注意，在方程 \eqref{eq:star_equation} 中，特征值 $k^{2}$ 在所有三条边上都相同。

方程 \eqref{eq:star_equation}-\eqref{eq:neumann_per} 的解为

${\begin{aligned}f_{1}(x)=A_{1}\cos(kx),\quad f_{2}(x)=A_{2}\cos(kx),\quad f_{3}(x)=A_{3}\cos(kx),\end{aligned}}$

对于一些常数 $A_{1}$、$A_{2}$ 和 $A_{3}$。现在剩下的两个方程，经过简单的简化后，变为

${\begin{aligned}&A_{1}\cos(kL_{1})=A_{2}\cos(kL_{2})=A_{3}\cos(kL_{3}),\\&A_{1}\sin(kL_{1})+A_{2}\sin(kL_{2})+A_{3}\sin(kL_{3})=0.\end{aligned}}$

将方程 \eqref{eq:cur_cons_central_sub} 除以 \eqref{eq:cont_central_sub} 消除了未知常数，得到

${\begin{aligned}\tan(kL_{1})+\tan(kL_{2})+\tan(kL_{3})=0.\end{aligned}}$

该方程根的平方 $k$（除非所有 $L$ 都相等，否则无法显式求解）是星形图的特征值。

习题 3

 We ignored the possibility that one or more of the cosines in
 equation \eqref{eq:cont_central_sub} are zero.  Show that the
 more robust (but much longer!) version of equation \eqref{eq:3star}
 is

${\begin{aligned}\sin(kL_{1})\cos(kL_{2})\cos(kL_{3})+\cos(kL_{1})\sin(kL_{2})\cos(kL_{3})+\cos(kL_{1})\cos(kL_{2})\sin(kL_{3})=0.\end{aligned}}$

此外，根的阶数 $k$ \eqref{eq:3star_robust} 等于相应特征空间的维数。

例如，如果 $L_{1}=L_{2}=L_{3}=\pi /2$，\eqref{eq:3star_robust} 的左侧在 $k=1$ 处二阶消失。这对应于两个线性无关的解，

${\begin{aligned}(f_{1},f_{2},f_{3})=(\cos(x),-\cos(x),0)\quad {\mbox{and}}\quad (\cos(x),0,-\cos(x)).\end{aligned}}$

实际上，关于这个简单的图还有很多可以说的（而且将会被说出来），但我们首先需要扩展我们考虑的顶点条件的集合。