量子力学/定态薛定谔方程

考虑一个被限制在一维盒中且具有不可穿透壁的粒子。当你求解薛定谔方程得到波函数时，你会得到两组解：正宇称的和负宇称的

$\Psi _{P=1}=A\cos \left[{\frac {(2n+1)\pi x}{a}}\right]$ 和 $\Psi _{P=-1}=A\cos \left({\frac {2n\pi x}{a}}\right),$

其中n是任意正整数，A是归一化常数。现在，我们可以拥有所有这些无限的状态，如果你曾经学习过傅里叶分析，你可能会注意到，用这些状态你可以形成任何你想要的函数——也就是说，波函数是完备的。所以我们学到了什么？实际上很多：我们发现了哈密顿量的本征态，它可以用来确定粒子的时间依赖性。

定态薛定谔方程的推导

我们从一般的薛定谔方程开始，并使用变量分离法。我们有

$H\Psi ={\hat {\epsilon }}\Psi$

我们将$\Psi$ 分成两个函数

$\Psi (x,t)=T(t)X(x)$

所以现在薛定谔方程是

$HTX={\hat {\epsilon }}TX$

我们从前面知道，能量算符${\hat {\epsilon }}$的“有趣”部分是对时间求偏导数，而哈密顿量$H$的“有趣”部分是对位置求偏导数。由于$T$不依赖于位置，因此不受$H$的影响。类似地，$X$不受${\hat {\epsilon }}$的影响。

所以我们有

$THX=X{\hat {\epsilon }}T$

我们可以左乘以$T^{-1}X^{-1}$ 得到

$X^{-1}HX=T^{-1}{\hat {\epsilon }}T$

注意左侧仅取决于x，右侧仅取决于t。我们有两个完全独立的函数，但它们却以某种方式彼此相等。这只有在两个函数都等于一个常数时才可能，我们将这个常数称为E。

即

$X^{-1}HX=E$ $T^{-1}{\hat {\epsilon }}T=E$

自然地，这意味着

$HX=EX$

以及

${\hat {\epsilon }}T=ET$

然后我们可以展开$H$ 和 ${\hat {\epsilon }}$ 并求解这个方程。