观测的量子理论/命运之林

理想观察者命运的树枝

理想观察者被定义为能够执行一系列理想测量（见 2.2）并记忆其结果的物理系统。从形式上看，它可以被认为是一组理想的测量仪器，除了在预定的时间点它们检测需要检测的内容之外，它们与环境隔离。

这些 $t_{i}$ 是观测的时刻。在每个时刻 $t_{i}$，理想观察者执行与可观测量（见 5.2）相关的测量 $O_{i}$。因此，理想观察者由 $(O_{i},t_{i})$ 的序列定义。这些 $O_{i}$ 作用于观察者环境的状态空间，即整个宇宙，除了观察者本身。

这里的“理想”必须与理想测量中的意义相同。当然，它不是美德的理想，而仅仅是一个理论虚构，相对于现实而言是简化的，但足够相似，可以帮助我们理解它。

理想观察者不会忘记。当然，真正的观察者（有生命的或机械的）经常忘记他们最初记忆的内容。但一般来说，信息并没有完全丢失，只是变得无法获取。如果我们用一个保持所有被遗忘信息的物理记忆来完成真正的观察者，我们将得到一个更像理想观察者的系统。

在上述假设的基础上，还添加了一个关于理想观察者之间理想通信的原则。当观察者 A 直接观察另一个观察者 B 时，B 的指针状态始终是 A 观察的本征态。这样，当 A 观察 B 时，它只是复制了 B 记忆的信息。因此，通过相互观察，即通过交流，理想观察者可以分享关于各自相对世界（见 4.7）的共同现实的信息。

理想观察者的完整命运由观测结果的序列定义 $x_{i}$ 在时刻 $t_{i}$。它决定了观察者的一系列量子态。第一个状态在第一次测量之前开始的时刻，是所有测量仪器的初始状态的乘积 $\prod _{i=1}^{N}|ready_{i}\rangle$。第二个状态是 $|x_{1}\rangle \prod _{i=2}^{N}|ready_{i}\rangle$，其中 $|x_{1}\rangle$ 是结果 $x_{1}$ 的指针状态。在第 $j$ 次测量之前开始的第 $j$ 个状态是 

$|x_{1}\rangle ...|x_{j-1}\rangle \prod _{i=j}^{N}|ready_{i}\rangle$

命运要么是完整的命运，要么只是完整命运的一部分。

理想观察者的命运形成一棵树。树的底部是理想观察者的初始状态。两次观察之间，树木生长而没有分支。当观察发生时，一个分支会分成与测量结果一样多的分支，这些测量结果的概率不为零。

在理想观察者模型中，两个分离的分支不能再次合并，因为理想观察者保留了记忆。他们不能拥有许多过去，因为他们无法记住彼此矛盾的多个过去。

可以使用一般的测量理论（参见第 5 章）定义一个更通用的观察者模型。然后我们必须在密度算子而不是状态向量上进行推理。这稍微复杂一些，并且本质上会导致相同的结论。

这里定义的理想观察者理论是抽象的和通用的。它没有对观察者所在的空間或其剩余内容做任何假设。可以通过将非常局部的量子态作为基态来引入三维空间。

观察者的多个命运树并非在三维空间中展开其分支，而是在观察者的量子态的抽象空间中展开。如果这些状态被定位，即使只是近似地，它们的命运也会被定位。然后，多个命运的树木在时空上展开其分支，使其始终朝着未来的方向生长。

量子测量的不可兼容性阻止两个观察者同时对同一个被观测系统进行两个不可兼容的测量。如果两个观察者同时与第三个系统相互作用，那么了解每个观察者与第三个系统之间的相互作用不足以确定结果。必须像三个量子系统发生碰撞一样进行推理。因此这不是一个理想的测量。

观察者的绝对命运及其环境的相对命运

观察者及其环境的初始状态是宇宙的状态。在以后的时间，宇宙的状态由酉演化算符决定。它们通常是观察者与其环境之间的纠缠态。因此，观察者的每个状态都与与其环境的相对状态相关联。因此，宇宙的初始状态和理想观察者的命运足以确定环境的相对状态的连续性，这可以被识别为环境相对于该观察者命运的命运。

可以说观察者的命运是绝对的，因为它是相对于另一个观察者的命运而言的。

命运的概率

玻恩规则可以用来给观察者的各种命运分配概率。

一个$x_{i}$ 测量结果的概率仅取决于环境相对于观察者在$i$ ^th 次测量之前的状态$|\psi \rangle$ （见 4.5）

$Pr(x_{i})=|P(x_{i})|\psi \rangle |^{2}$

其中$P(x_{i})$ 是$x_{i}$ 的本征态子空间上的投影算子。

${\frac {P(x_{i})|\psi \rangle }{|P(x_{i})|\psi \rangle |}}$ 是测量$x_{i}$ 之后环境的相对状态。

这样，通过环境的初始状态和演化算子，就可以给理想观察者的所有命运分配一个概率。相同的概率可以归因于其环境的相对命运。

命运的不可组合性

理想观察者 A 的命运和另一个理想观察者 B 的命运是可组合的，当一个观察者记住的信息可以被另一个观察者复制时。不需要它被复制，只要它可以被复制。但在 A 的命运结束时，必须将 B 的所有观察结果传达给 A，以便他们的命运可组合。当两个观察者可以就共同现实达成一致时，他们的命运是可组合的。两个可组合命运相遇的概率永远不为零。

两个命运是不可组合的，当它们不可组合时。不可组合的命运是绝对分离的。它们永远不会相遇。本书引入了不可组合性的新词，因为在量子物理学中，不兼容性已经有了另一种含义（见 2.7）。如果两个理想观察者的命运包含相互矛盾的观察结果，那么它们就是不可组合的。两个不可组合命运相遇的概率始终为零。

两个不可组合命运之间的分离是一种特殊的量子分离，与空间分离大不相同。当两个命运在量子层面上分离时，相遇的不可能是决定性的，即使它们位于同一地点（见 4.9）。两个不可组合的命运永远无法相互作用。当两个命运在空间上分离而没有在量子层面上分离时，它们只需要在空间中相遇才能相互作用，并以这种方式结合起来。

我们可以用更正式、更不直观、数学上更方便的方式定义不可组合性。形式上，所有理想观察者都可以通过张量积组合成一个单一的理想观察者。观察者 $j$ 的序列 $(O_{ij},t_{ij})$ 用于定义一个新的序列 $(O'_{k},t'_{k})$，用于将它们全部统一起来的观察者。总观察者的每个命运都决定了每个被这样统一的观察者的单一命运。如果存在至少一个总观察者的命运（非零概率），它决定了这两个观察者的命运，那么这两个观察者的两个命运就是可组合的。否则，它们就是不可组合的。

状态的叠加（见 1.1）和不完全可分辨性（见 2.6）、测量的不可兼容性（见 2.7）、部分的纠缠（见 4.1）、状态的相对性（见 4.3）、通过纠缠的退相干（见 4.17）、指针态的选择（见 5.4）和命运的不可组合性是主要概念，是量子特有的，没有经典的类似物，它们使我们能够理解薛定谔方程的物理意义，或者等效地理解幺正算子形式主义的意义。

命运之林的成长

当观察者以任何方式不相互作用时，无论是直接通过相互观察，还是通过环境中的量子系统间接地相互作用，他们的命运树都会独立地生长。为了发生这种情况，每个人都必须观察不同的物体，这些物体在量子意义上与其他观察者所观察的物体完全分离，也就是说，它们没有与它们纠缠在一起。

当两个观察者直接或间接相互作用时，它们会像菲莱蒙和鲍西斯一样，将他们命运树的枝干交织在一起。因此，人们可以将多个相互作用的观察者的多个命运视为一个不断生长的森林，其树木交织在一起。为了表示量子演化，这种森林的生长必须遵循非常严格的可能交织选择规则。

当两个观察者之间的通信是理想时，一个观察者的每个分支都会与它变得不可组合的另一个观察者的所有分支分离。

两个理想观察者 A 和 B 也可以通过环境中的第三个量子系统 C 相互作用。这并不一定是理想的沟通。

假设 A 观察了一个系统 C，然后 B 观察了这个系统。

如果 A 和 B 对 C 进行相同的测量，并且 C 处于这种测量本征态之一，那么分支不会增加，A 和 B 会获得相同的结果，并且它们会像进行过此结果的理想通信一样交织它们的枝干。如果 C 不处于测量的适当状态，那么 A 的分支，然后是 B 的分支，在对 C 进行测量后会增加，并且它们会像进行了获得结果的理想通信一样纠缠在一起。

如果 A 和 B 的测量观察量是不可兼容的（见 2.7），那么 A 获得的结果不能与 B 获得的结果相识别。在这种情况下，分支之间的纠缠不能通过结果匹配来确定。例如，如果 C 不是 A 测量的适当状态，而它是 B 测量的适当状态，那么 A 的分支，然后是 B 的分支，在对 C 进行测量后会增加，但是 A 的分支在 C 的测量之前与 B 的分支可组合，仍然是可组合的。通过 C 的相互作用不会引入 A 和 B 的命运之间不可组合性的新约束。

因此，当两个理想观察者相互作用时，有两个主要的方式让两棵树交织它们的枝干。如果它们相互观察，或者如果它们测量第三个系统的相同观察量，那么它们会通过匹配结果来纠缠它们的枝干。如果相互作用没有导致共享相同的信息，那么它们会通过不加区分地纠缠它们的枝干。

在 A 和 B 之间第一次相互作用之前，无论是直接还是通过第三个系统，一个观察者的所有命运都与另一个观察者的所有命运可组合。随后的相互作用会引入不可组合性的约束，即命运相遇的禁止，只要 A 和 B 相互观察，或者对第三个系统 C 进行兼容的测量。因此，森林的生长伴随着一种分化过程，即树木之间的分离，类似于大脑成熟。最初，在生命的早期，神经元之间的连接差异很小，每个神经元都与许多其他神经元相连。随着时间的推移，大多数这些连接会消失。

谈论命运之林的成长，只是描述薛定谔方程应用于理想观察者系统时解的一种方式。这实际上是描述从所作的简单假设中得出的数学解。这并不是妄想，而是对数学原理结果的计算。

虚拟量子命运和费曼路径

定义理想观察者的测量仪器的初始状态和指针状态，通过张量积确定观察者本身的指针状态。测量仪器的指针状态的选择（见 5.4）也选择了理想观察者的指针状态基。

当一个量子系统不是宏观测量仪器或理想观察者时，没有指针状态基是优先的（见 5.5）。人们仍然可以通过任意选择其状态基之一来定义多个命运。但是，没有理由认为这些命运是真实的，因为定义它们的态通常不是系统真正经过的态。实际上，它处于这些态的叠加态，或者处于与环境纠缠的态。这就是本书将它们称为虚拟量子命运的原因。

当 $t_{i}$ 是时间点，而 $|\phi _{i}\rangle$ 是系统 S 的状态，由相同的索引 $i$ 索引，则 $(|\phi _{i}\rangle ,t_{i})$ 的序列就是一个费曼路径。

$U_{i}$ 是 S 在 $t_{i-1}$ 和 $t_{i}$ 之间的演化算子。

与费曼路径 $(|\phi _{i}\rangle ,t_{i})$ 相关的概率幅，根据定义为

$\prod _{i}\langle \phi _{i}|U_{i}|\phi _{i-1}\rangle$

$t_{0}$ 是初始时间，而 $t_{N}$ 是最终时间。 $|\psi _{0}\rangle$ 是 S 的初始状态，而 $|\psi \rangle$ 是最终状态。

从 $|\psi _{0}\rangle$ 演化到 $|\psi \rangle$ 的概率幅为

$\langle \psi |U|\psi _{0}\rangle$

其中 $U=\prod _{i=1}^{N}U_{i}$

$|a_{j}\rangle$ 是 S 状态的正交归一基。用 $t_{i}$ 它确定了一组从 $|\psi _{0}\rangle$ 到 $|\psi \rangle$ 的费曼路径集 $F$。$F$ 包含所有路径 $(|\psi _{0}\rangle ,t_{0})...(|\phi _{i}\rangle ,t_{i})...(|\psi \rangle ,t_{N})$，其中 $|\phi _{i}\rangle$ 始终从 $|a_{j}\rangle$ 中选择。如果 $f$ 是 $F$ 的一个元素，$|\phi _{i}^{f}\rangle$ 是它在时刻 $t_{i}$ 的中间态。

我们有 

$\langle \psi |U|\psi _{0}\rangle =\sum _{f\in F}\prod _{i=1}^{N}\langle \phi _{i}^{f}|U_{i}|\phi _{i-1}^{f}\rangle$

其中 $|\phi _{0}^{f}\rangle =|\psi _{0}\rangle$ 并且 $|\phi _{N}^{f}\rangle =|\psi \rangle$ 对所有 $f$ 在 $F$ 中。

换句话说，初始状态和最终状态之间演化的概率振幅是连接这两个状态的“所有路径”的所有概率振幅的总和。这是费曼路径积分（费曼与希布斯 1965）的有限版本。

证明：已知 $\sum _{j}|a_{j}\rangle \langle a_{j}|=1$，我们有

$\langle \psi |U|\psi _{0}\rangle =\langle \psi |U_{N}\prod _{i=1}^{N-1}(\sum _{j_{i}}|a_{j_{i}}\rangle \langle a_{j_{i}}|)U_{i}|\psi _{0}\rangle =\sum _{j_{1}...j_{N-1}}\langle \psi |U_{N}|a_{j_{N-1}}\rangle \prod _{i=1}^{N-1}\langle a_{j_{i}}|U_{i}|\psi _{0}\rangle$

$=\sum _{f\in F}\prod _{i=1}^{N}\langle \phi _{i}^{f}|U_{i}|\phi _{i-1}^{f}\rangle$

观察者的命运由一系列在定义时刻的量子态定义，就像费曼路径一样。由于大卫·德意志没有区分命运与费曼路径，他惊人地表明，费曼路径积分可以用来证明多重世界存在（德意志 1997）。为了得到正确的定义，多重世界必须被视为与观察者相关的世界，这些观察者拥有多个命运。其中一个世界的状态是环境（宇宙除观察者外）相对于观察者状态的一种状态。

观察系统的命运是真实的。观察结果确实得到了。它们是真实存在的命运的一部分。费曼路径不能是真实命运，因为中间状态不能被观察，以便积分概率振幅，而不是概率（参见 4.18）。如果费曼路径是真实命运，则必须将概率加起来。

另一个基本原因阻止了将费曼路径与真实命运等同起来。它们会将许多过去归因于同一个现在状态。费曼路径不会形成树状结构，因为它们可以像发散一样容易地收敛。费曼路径上的量子态是许多路径的收敛点，如果这些路径是真实命运，它们将定义许多过去。虚拟命运收敛的这种性质对于利用量子计算的并行性很重要，但它似乎显然排除了真实命运，因为真实命运通常似乎只有一个过去。

量子计算的并行性和虚拟过去的复杂性

考虑一个具有两个量子位的系统，它们以一种方式相互作用，使得当我们在基 {$|0\rangle ,|1\rangle$} 中推理时，第一个量子位作用于第二个量子位，但不会受到影响。因此，它们的相互作用由算子 $U_{f}$ 描述。

$U_{f}|00\rangle =|0f(0)\rangle$

$U_{f}|10\rangle =|1f(1)\rangle$

$U_{f}|01\rangle =|0f(0)^{c}\rangle$

$U_{f}|11\rangle =|1f(1)^{c}\rangle$

其中 $f$ 是任何描述第一个量子比特对第二个量子比特的影响的函数，$0^{c}=1$ 且 $1^{c}=0$。

如果系统最初处于状态 ${\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )(|0\rangle -|1\rangle )$，我们得到 

$U_{f}{\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )(|0\rangle -|1\rangle )={\frac {1}{2}}(|0f(0)\rangle +|1f(1)\rangle -|0f(0)^{c}\rangle -|1f(1)^{c}\rangle )$

如果 $f(0)=f(1)$，我们得到 

$U_{f}{\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )(|0\rangle -|1\rangle )=-{\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )(|f(0)\rangle +|f(0)^{c}\rangle )$

如果 $f(0)\neq f(1)$，我们得到 

$U_{f}{\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )(|0\rangle -|1\rangle )={\frac {1}{2}}(|0\rangle -|1\rangle )(|f(0)\rangle -|f(0)^{c}\rangle )$

第一个量子位的最终状态为 $|x^{+}\rangle$ 或 $|x^{-}\rangle$，揭示了它是否总是对它的伴侣产生相同的影响。

我们可以通过区分第一个量子位的两个虚拟命运来分析这个量子计算：一个是它在初始准备后立即进入状态 $|0\rangle$；另一个是它进入状态 $|1\rangle$。 算符 $U_{f}$ 决定了这两个命运的平行演化。从图像上说，可以认为第一个量子位经历了两个命运，它可能对它的伴侣产生相同的影响，也可能不产生相同的影响。这两个命运最终会汇聚到同一个状态 $|x^{+}\rangle$ 或 $|x^{-}\rangle$。 如果是 $|x^{+}\rangle$，则该量子位在它过去的虚拟命运中都产生了相同的影响；如果是 $|x^{-}\rangle$，则它产生了不同的影响。 由于拥有多个虚拟过去，第一个量子位能够收获量子计算并行性的成果。

这个例子具有普遍的价值（Deutsch 1985）。 量子计算总是能够在单步内计算函数的所有值。 例如，如果它拥有 100 个量子位内存作为数据寄存器，一个量子计算机可以在一步内并行计算 $2^{100}\approx 10^{30}$ （约为一万亿亿亿）个任意函数的值。 但是，困难在于如何收获这种并行性的成果。 有必要观察从所有并行发生的虚拟命运中产生的状态，因此是一个具有许多虚拟过去的狀態。

如果我们忘记了，我们能拥有多个过去吗？

同一个理想观察者的两个不同的真实命运永远无法汇聚到一个状态，因为一个理想观察者永远不会忘记，并且它不能保留相互矛盾的记忆。 但是，如果它忘记了，它能像上面的 Deutsch 量子算法中的量子位那样拥有多个过去吗？

为了使并行量子计算能够提供结果，计算机必须受到保护，使其免受与环境纠缠而产生的退相干影响。 如果发生了这种退相干，一切都会像环境观察了并行虚拟命运一样发生。 在这种情况下，为了计算最终结果的概率，需要对概率进行求和，而不是对振幅进行求和（见 4.18）。 状态 $|x^{+}\rangle$ 和 $|x^{-}\rangle$ 将以相同的概率发生，而与函数 $f$ 的值无关。 并且，将不再有任何理由断言它们拥有两个虚拟过去。

由于我们不断受到环境干扰引起的退相干作用，一切都仿佛我们不断被环境观察着。当我们忘记时，丢失的信息并不完全消失。环境始终保留着它的痕迹。这就是为什么两个真正经历过的命运即使在处于叠加状态时也无法汇聚到同一个状态上，即使在这个状态下我们已经忘记了可以区分它们的东西。

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