R 编程/概率函数/二项式

二项分布

• N 个伯努利试验（所有试验都具有相同的成功概率）的总和
• N 次抛掷可能不公平的硬币中正面出现的次数。
• 在水样中真正存在的 N 个卵囊中，实际计数的个数，假设每个卵囊具有相同的回收概率。
• 此分布具有 2 个参数（N 和 P），尽管我们通常知道试验次数（N），因此只有一个参数未知（P）。

概率质量函数

• dbinom(K,N,P)，其中 K 是成功次数，N 是试验次数，P 是成功的概率。
• dbinom(5,10,0.5) = 0.2460938

具有相同试验次数（10）但不同成功率（0.5 和 0.2）的二项式概率质量函数。

${\begin{array}{l}\operatorname {dbinom} (K,N,P)=\operatorname {combin} (N,K)\cdot p^{K}\cdot (1-p)^{N-K}\\\operatorname {combin} (N,K)={\frac {\displaystyle N!}{\displaystyle K!\cdot (N-K)!}}\end{array}}$

分布函数

• pbinom(K,N,P)
• pbinom(5,10,0.5) = 0.6230469

N=10，P=0.2（蓝色）和 P=0.5（红色）。

生成随机变量

• rbinom(M,N,P)
• rbinom(12,10,0.5) -> 5 5 7 5 5 6 7 6 6 6 4 7
• hist(rbinom(1000,10,0.5)) --> 直方图

文件：Binom hist.JPG

1000 个二项式偏差样本，显示为直方图。

• hist(rbinom(1000,10,0.5), breaks = seq(from=-0.5, to=12.5))将整数值放在条形图的中心（而不是条形图的右侧）。

参数估计

大多数情况下，我们可以计算试验次数，因此该参数（N）是已知的。我们观察正值的个数（K），并利用这些信息来估计未观察到的“成功”概率（P）。

• M 个二项式的总和与 M*N 个伯努利试验的总和相同 = binom(M*N,P)
• 最大似然
  • lambda = sum(successes)/sum(trials) = sum(K)/sum(N)
• 贝叶斯
  • 在均匀先验的情况下，后验是Beta(alpha=1+sum(K), beta=1+sum(N)-sum(K))
  • 在先验概率质量在 0 和 1 上，并将剩余质量分配给 Beta(1,1) 的情况下，请参阅抛硬币示例。

文件：Beta1.JPG

来自 Mathcad 的图像

文件：Binom.jpg

来自 WinBUGS 的图像

• 经典
  • 正态近似
  • 精确置信区间

但是，如果 M 个二项式试验的试验次数未知呢？我们可以使用数据 K[1] 到 K[M] 来估计 N 和 P 吗？

从重复的独立同分布二项式试验中估计两个参数

外部链接

• 维基百科：http://en.wikipedia.org/wiki/binomial_distribution
• NIST/SEMATECH：http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda366i.htm