实分析/紧集

紧集的定义 如果一个集合有开覆盖并且包含有限子覆盖，那么它是紧致的

定义

令 (X, d) 是一个度量空间，并且令 A ⊆  X。我们称 A 是 紧致的，如果对于任何开覆盖 {U_λ}_λ∈Λ 都存在一个有限集合 U_λ1, …,U_λk，使得 $\textstyle A\subseteq \bigcup _{i=1}^{k}U_{\lambda _{i}}$。换句话说，一个集合是紧致的当且仅当任何开覆盖都有一个有限子覆盖。紧致集还有另一个序贯定义。如果度量空间 X 中的集合 A 中的任何序列都有一个收敛子序列，则称集合 A 是紧致的。

定理

令 A 是 $R^{n}$ 中的一个紧致集，具有通常度量，那么 A 是闭集且有界。

定理（海涅-博雷尔）

如果 $\textstyle X=\mathbb {R} ^{n}$，具有通常度量，那么 X 的任何闭集且有界子集都是紧致的。