实分析
实分析的主题是研究函数、序列和集合在实数轴上的行为和性质，我们将实数轴表示为数学上熟悉的。我们希望通过实分析来考察的概念包括极限、连续性、导数（变化率）和积分（参数变量扩展后的变化量）。这些概念中的许多在数学的较低层次（包括普通的一年级微积分课程）中得到了处理，因此，对于没有接触过这门学科的读者来说，实分析似乎毫无意义，甚至微不足道。然而，实分析在深度、复杂性和美感方面都非常出色，因为它在日常数学的表面之下，存在着一种称为严谨性的正确性保证，这种保证贯穿整个数学。因此，在某种程度上，实分析可以被看作是对一个严谨的、经过充分证明的框架的开发，以支持我们经常认为理所当然的直观想法。
实分析是一门非常直观的学科，因为它只是对你在数学学习中所遇到的数学概念的近乎线性的发展。然而，我们不会依赖于有时不确定的直觉（我们在解决一个我们不理解的问题时都体会过这种感觉），而是会把它建立在一个严谨的数学定理集合上。在这本书中，我们将开始看到，我们不需要直觉来理解数学——我们需要一个手册。
本书的中心论点是如何用公理来定义实数。这将如何运作？这本书将以这种方式阅读：我们设定了我们认为定义实数的性质。然后，我们仅从这些性质（仅仅从这些性质）证明实数以我们一直想象的方式表现。然后，我们将重新审视我们一生中积累的所有基本定理和事实，使它们汇聚在一起，几乎就像它们在我们分析之前就一直是正确的；实际上它们一直都很严谨——只是现在我们知道了它们是如何形成的。
不要以为你学完这本书，数学就结束了。在其他学术研究领域，人们对一个奇怪的数学领域有所了解，这个领域正越来越多地被带到标准思想的最前沿。在你理解了这本书之后，数学现在看起来似乎是不完整的，缺乏一些你可能之前想过的一些概念。在这本书中，我们将提供对数学的了解，不仅仅是实数和实分析。毕竟，我们在这里讨论的数学似乎总是只涉及一个变量，在一个数字、运算和比较的海洋中。
注意：下文使用的数学符号及其定义的表格可在附录中找到。
以下列出了一些从其他书籍中精选的章节。它们将有助于培养你数学严谨性，这对你阅读这本书以及学习更高深的数学都是必不可少的思维模式。
本书的这一部分形式化了我们在数学中使用的各种类型的数字，一直到实数。这一部分侧重于不仅数字本身，而且算术运算和不等式比较符的公理性质（我们为了分析而定义为真的内容）。
本书的这一部分形式化了图形、函数以及三角学的定义和用法。本节最引人注目的是它使用图形作为证明某些性质（如三角学）的方法。这些证明方法大多不受欢迎（由于图形证明在准确性和缺乏严谨定义方面的不足），但它们对于推导出三角关系是必不可少的，因为三角函数的解析定义将使使用三角学变得过于困难——特别是如果它们在早期就被描述。
| 注意 | |
|---|---|
| 关于反函数章节中描述的定理需要了解导数。 |
以下章节将严格定义三角函数。只有在你对导数、积分和反函数有了很好的理解之后才能阅读它们。
- 三角函数，定义
- 三角定理，定义
本书的这一部分形式化了受算术、集合或逻辑关系约束的数字序列。这一部分侧重于诸如数学归纳法以及与可枚举集合（以自然数作为枚举）以及整数极限集相关的性质。
本书的这一部分正式化了数学中距离的概念，并介绍了度量空间的分析。
本书的这一部分正式化了数学中区间概念，并介绍了拓扑学。
本书的这一部分正式化了极限和连续性的概念，以及它们如何在初等数学和高等数学之间建立逻辑关系。本部分重点介绍了 epsilon-delta 定义，epsilon-delta 推理的证明方式以及极限的意义。还讨论了其他主题，如连续性，这是极限的特例。
本书的这一部分正式化了微分，以及它们如何用于描述函数的性质。本部分重点介绍了如何证明导数研究函数变化的性质，以及导数如何为函数提供属性。
| 注意 | |
|---|---|
| 黎曼积分或达布积分的定义的构造都不需要 epsilon-delta 极限。 |
本书的这一部分正式化了积分，以及如何通过想象面积的含义来得到积分的不同形式。本部分重点介绍了如何证明导数研究函数变化的性质，以及导数如何为函数提供属性。
在这里，你会发现一个未分类的章节列表。其中一些是高度高级的主题，而另一些则是帮助你在数学旅程中前进的工具。由于这是维基教科书的最后一个标题，必要的书结尾也位于此处。