实分析/连通集

直观地，连通性的概念是一种描述集合是“整体一块”还是由“分离的部分”组成的方法。为了定义的动机，$\mathbb {R}$中的任何区间都应该是连通的，但是由两个不相交的闭区间$[a,b]$和$[c,d]$组成的集合$A$不应该连通。

定义 如果$\mathbb {R} ^{n}$中$A$中的一个集合不是两个开集的不交并集的子集，并且这两个开集都与它相交，则称该集合是连通的。

另一种定义 如果存在一个连续的满射函数$f:X\to \{0,1\}$，则称集合$X$为不连通的，这样的函数称为断开。如果不存在这样的函数，则称$X$是连通的。

示例 集合$[0,2]$不能被两个开的不相交区间覆盖；例如，开集$(-1,1)$和$(1,2)$没有覆盖$[0,2]$，因为点$x=1$不在它们的并集中。因此$[0,2]$是连通的。

然而，集合$\{0,2\}$ 可以被 $(-1,1)$ 和 $(1,3)$ 的并集覆盖，因此 $\{0,2\}$ 不是连通的。

路径连通

一个类似的概念是路径连通性。

定义 如果任何两点都可以用一条路径连接而无需离开集合，则该集合称为路径连通的。

一个有用的例子是 $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$。任何两点 a 和 b 都可以通过简单地画一条绕过原点而不是直接穿过原点的路径来连接；因此，这个集合是路径连通的。然而，$\mathbb {R} \setminus \{0\}$ 不是路径连通的，因为对于 $a=-3$ 和 $b=3$，没有路径可以连接 a 和 b 而不穿过 $x=0$。

正如在这一点上应该很明显的那样，在实数线上，普通的连通性和路径连通性是等价的；然而，这对于 $\mathbb {R} ^{n}$ 其中 $n>1$ 并不成立。当这种情况不成立时，路径连通性意味着连通性；也就是说，每个路径连通集都是连通的。

单连通

另一个与连通性相关的重要的主题是单连通集。这是一种比路径连通性更强的条件。

定义 如果完全包含在 $A$ 中的任何环都可以收缩到一个点而不离开 $A$，则集合 $A$ 称为单连通的。

简单连通集的一个例子是 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的任何开球。但是，之前的路径连通集 $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ 不是简单连通的，因为对于围绕原点的任何环路 p，如果我们将 p 收缩到一个点，我们必须在 $(0,0)$ 处离开该集合。