实分析/反函数

实分析 反函数

在本章中，我们将正式化反函数的定义和直观行为。在早期的数学学习中，你可能已经学习了一些关于该主题的皮毛知识，例如它们在 y=x 线上的反射，或函数及其反函数的列表。你可能学过反三角函数，作为一种模糊的方法，从一个假想三角形的边长得到一个角度。你可能理解了，n^th 根是 n^th 次方的反函数。在这里，我们将正式化它——赋予它意义，从而赋予它趣味。然而，许多与反函数相关的定理在其他概念构建之前，不会立即有用或可理解。因此，本章的部分内容可能包含对先前所需概念的说明。

构造

反函数的构造可以通过两种方法完成。第一种方法是直接定义反函数。我们不会在本书中以这种方式定义它。相反，我们将把它定义为一种新运算的结果。我们将以这种方式定义反函数，因为它假设的概念更少，并且给了我们一个新的运算符可以使用（它将在本章的一个非常重要的概念中使用）。本章的这一部分将表达我们将如何遵循第二种方法来定义它。

反运算符 反运算符的定义 一个一元运算，作用于函数 ƒ，使得所有有序对 (a, b) 在函数 ƒ 中为 (b, a)。记作 ƒ-1。 反函数的定义是对函数的一个直接修改；只需将每个有序对中每个数字的顺序颠倒过来。但是你能想象，如果这个定义过于简单会怎样？例如，这个定义对 ƒ(x)=x2 有效吗？考虑到 (a, ƒ(a)) = (-a, ƒ(a))，反函数将存在两种有序对，使得 (ƒ(a), a) 和 (ƒ(a), -a)，这违反了函数的定义。由于在处理反函数时可能会出现这个问题，我们可以立即开始为这个问题设计一个解决方法。虽然函数 ƒ(x)=x2 的反函数不是函数，但我们只定义了反转函数的定义。我们没有定义反函数。 为了避免像 ƒ(x)=x2 这样的问题，我们将定义反函数。然而，我们不会单独定义反函数，而是将其作为定理。为什么？这样，反函数就成了反运算符的結果性质，而不是一个独立的类别。数学是建立在简单规则蕴含更复杂规则的原则之上的。我们开始吧？

反函数定理 定义反函数的定理 ƒ-1 是一个函数意味着 ƒ 是一对一的，反之亦然。 一对一的定义 给定 a ≠ b，使得 ƒ(a) ≠ ƒ(b) ∀a, b ∈ ƒ 的定义域。 利用这个定理，我们可以根据最初的反运算符的定义构建反函数的定义。但是你有没有注意到，我们还夹带了另一个定义？我们之所以有这个额外的定义，是因为它将使我们能够避开一个潜在的定义冲突。 什么算作一对一函数？令人惊讶的是，并非你想象中的所有函数都算。恒等函数 ƒ = x 是一个一对一函数，但平方函数 ƒ = x2 不是。你最喜欢的三角函数 sin, cos, tan 不是一对一函数。然而，这个分段函数 $f(x)={\begin{cases}x&x\neq 0,1\\1&x=0\\0&x=1\end{cases}}$ 是一个一对一函数。现在我们已经摆脱了寻找例子的必要性，让我们来证明这个定理。

一个数的平方就是一个不是函数的反函数的例子。

证明

证明自然地从定义中推导出来，如果设置正确的话。

证明可逆函数必须意味着函数是一对一的

断言 ƒ-1, ƒ 是一个函数，并假设任意两个对 (a, ƒ(a)), (b, ƒ(b)).

假设 ƒ(a) = ƒ(b). 这意味着 (a, ƒ(a)) = (b, ƒ(a)).

这意味着反函数 ƒ-1 将具有 (ƒ(a), a), (ƒ(a), b).

我们断言 ƒ-1 是一个函数，必须意味着 a = b.

a = b 和 ƒ(a) = ƒ(b) 只是对一对一定义的否定。

$\blacksquare$

我们还声明了推论，即前一定理的双向条件也成立；让我们也来证明这一点。

证明一个一对一函数，当反转时，是一个函数

断言 ƒ 是一个一对一函数。

假设反函数 ƒ-1 中有两个对 (a, b), (a, c)

这意味着函数 ƒ 具有对 (b, a), (c, a).

我们断言 ƒ 是单射的，这意味着 b = c.

从反函数 ƒ 中获得相同的输入 a 会得到相同的输出，即 b = c，这仅仅是函数的定义。

$\blacksquare$

符号

与反函数相关的命名约定很少，旨在使事物不那么混乱。 典型的有序对名称，例如 (x,y) 或 (a,b) 应用于反映反函数反转有序对的性质。 例如，x = ƒ^-1(y) 或 a = ƒ^-1(b) 分别补充了 y = ƒ(x) 和 b = ƒ(a) 的命名约定。

定理

反函数的奇特之处在于它能够通过在某种意义上反转已知函数和定理来创建已知函数和定理的新定义。 我们将首先从证明定义反函数的定理的非常简单的结果开始，然后我们将转向与代数相关的奇特证明，然后我们将通过证明微分性质来进入微积分。

基本性质

如果不明确，应该很容易从定义中推导出一个看似必要的性质。

对合律	ƒ ∘ ƒ-1 (y) = y
	ƒ-1 ∘ ƒ (x) = x

证明

证明依赖于函数和反函数定义的应用。

对合适用于反函数的证明

ƒ-1 ∘ ƒ (x) = x	ƒ ∘ ƒ-1 (y) = y
函数 ƒ 将 x 映射到 y	函数 ƒ 将 y 映射到 x
反函数 g = ƒ-1 将 y 映射到 x	反函数 g = ƒ-1 将 x 映射到 y
$x{\stackrel {f}{\rightarrow }}y{\stackrel {g}{\rightarrow }}x$	$y{\stackrel {g}{\rightarrow }}x{\stackrel {f}{\rightarrow }}y$
$\blacksquare$	$\blacksquare$

此证明的结果似乎证明了其符号的合理性； 如果函数彼此复合，就好像它是变量 a 及其逆 a^-1 的乘法一样，只需“取消”函数的逆。 它也证明了我们应该有一种方法来撤消数学运算的直觉概念。

代数

既然我们已经证明了反函数是函数的反面的直觉理解，我们可以继续进行证明代数的第二部分，即代数可逆性。 代数可逆性是一个与“当且仅当”密切相关的数学概念——能够应用一种可以通过应用相反运算来逆转的运算。 我们现在将证明这个概念。

证明代数的定理，第 2 部分

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如果 $f(a)=f(b)$ 并且 f 是可逆的，那么你可以对等式两边应用一个反函数，即“取消”某些东西。

证明

此证明将仅依赖于应用反函数的定义。

代数有效性的证明

假设 $f(a)=f(b)$，我们可以使用一个变量 x，使得 $x=f(a)=f(b)$。 这将极大地简化交流。
根据反函数的定义，我们可以说变量 *x* 可以映射到 *f-1* 的 *x* 处的值，即 *a*，定义为$x=f(a)$（为什么是 *a*？使用上一节的对合律）。	${\begin{aligned}f^{-1}&=\{\ldots ,\{\{x\},\{x,a\}\},\ldots \}\implies \\x&\rightarrow a\end{aligned}}$
因为 *f(b)* = *f(a)*，并且我们正在使用一个函数 *f*，所以我们可以说 *b* 也可以映射到 *f-1* 的 *x* 处的值。	${\begin{aligned}f&=\{\ldots ,\{\{x\},\{x,b=a\}\},\ldots \}\implies \\x&\rightarrow b\end{aligned}}$
综合起来，这种关系就变得很清楚了。	$f(a)=f(b)\implies x\rightarrow a=x\rightarrow b\implies a=b$ $\blacksquare$

连续性

我们将从证明一个反函数在原函数连续的情况下也是连续的开始。我们为什么要证明这一点，而不是证明不连续的函数？嗯，在关于极限的章节中，我们讨论过不连续性不是特殊情况。如果不是特殊情况，它通常具有较少的属性，并且不需要进一步扩展。因此，我们将专注于连续性保存。需要注意的是，这个定理需要证明一些部分并将其组合在一起。这意味着定理本身将非常长。定理本身写在下面。

定理

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给定一个函数ƒ，它在连续且一一对应的情况下，反函数也必须连续。

请注意，从反函数定义中我们已经证明了所有反函数ƒ^-1 都是一一对应的。从那里，你可能会对要经历的过程有点畏惧。但是，这是一本教科书，我们将成为你的向导。

首先，我们需要证明一个单独的定理，这个定理对于将证明拼凑在一起至关重要。这个定理如下。

定理

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给定一个函数ƒ，它在某个区间上连续且一一对应，那么它在这个区间上必须是递增或递减的。

为了证明这一点，我们将使用介值定理。

所有一一函数必须通过反证法证明要么是递增要么是递减的图形描述。

一一对应→要么递增要么递减的证明。

	递增	递减
选择两个值 *a*、*b* 和 *c*，使得a < b < c，并且	ƒ(a) < ƒ(c)	ƒ(a) > ƒ(c)
假设	ƒ(b) < ƒ(a)	ƒ(b) > ƒ(a)
然后使用介值定理在 ƒ(b) 和 ƒ(c) 之间，你得到另一个等于 ƒ(a) 的点，用于一一函数。矛盾
假设	ƒ(b) > ƒ(a)	ƒ(b) < ƒ(a)
对于 ƒ(a) 和 ƒ(b) 之间的区间，以及点 ƒ(c)，使用相同的推理也会产生矛盾。
ƒ(b) 必须位于两者之间。	$\blacksquare$	$\blacksquare$

从这个定理中，我们将用它来证明我们关于连续性的初始定理。像往常一样，我们将重点关注证明中的递增，因为我们可以通过对给定函数取反来模拟递减函数。证明是一个ε-δ证明。

证明连续的一一函数意味着反函数连续

回顾连续性的定义及其相关的ε-δ意义	${\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow b}{f^{-1}(x)}&=f^{-1}(b)\\|x-b|<\delta &\rightarrow |f^{-1}-f^{-1}(b)|<\epsilon \end{aligned}}$
我们首先分解ε-δ定义的绝对值符号，并使用我们建立的命名约定应用一些替换（事实上，我们将反函数替换为普通函数，并将普通函数替换为反函数）。	${\begin{aligned}|x-b|<\delta &\rightarrow |f^{-1}-f^{-1}(b)|<\epsilon \\-\delta <x-b<\delta &\rightarrow -\epsilon <f^{-1}-f^{-1}(b)<\epsilon \\-\delta +b<x<\delta +b&\rightarrow -\epsilon +f^{-1}(b)<f^{-1}<\epsilon +f^{-1}(b)\\-\delta +f(a)<x<\delta +f(a)&\rightarrow -\epsilon +a<f^{-1}<\epsilon +a\end{aligned}}$
给定右侧的epsilon不等式，我们知道在负ε和正ε之间的值应该是以下值。	-ε + a < a < ε + a
由于函数ƒ是连续且单调的，我们可以应用我们刚证明的定理来推断	ƒ(-ε + a) < ƒ(a) < ƒ(ε + a)
假设	δ = min(ƒ(a + ε) - ƒ(a), ƒ(a) - ƒ(a - ε))
这种关系可以得到验证 [证明留给读者]	ƒ(a - ε) ≤ ƒ(a) - δ 且 ƒ(a) + δ ≤ ƒ(ε + a)
假设给定一个范围，存在一个变量x处于这个范围内。	ƒ(a) - δ < x < ƒ(a) + δ
我们将应用上面写的关系	ƒ(a - ε) < x < ƒ(ε + a)
由于递增函数ƒ意味着ƒ-1也是递增的，	ƒ-1 ∘ ƒ(a - ε) < ƒ-1(x) < ƒ-1 ∘ ƒ(ε + a) a - ε < ƒ-1(x) < ε + a
这表明给定一个delta，你就可以从中推断出epsilon。	$\blacksquare$

"倒数定义"性质

以下定义是逆函数的概念提供的，用于导数定义，其中逆函数的导数是已知的。

定理

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给定一个在 ƒ(a)处可微的函数ƒ^-1，可以定义为ƒ' = 1/ ƒ^-1 ∘ ƒ (a)，前提是ƒ是一个函数，并且ƒ^-1 ∘ ƒ (a) ≠ 0。

定理

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给定一个在 ƒ^-1(b)处可微的函数ƒ，可以定义为ƒ^-1' = 1/ ƒ ∘ ƒ^-1 (b)，前提是ƒ^-1是一个函数，并且ƒ ∘ ƒ^-1 (b) ≠ 0。

与往常一样，如果将逆函数置于内部或外部颠倒，这个定理仍然有效。我们现在不讨论证明。为什么？证明需要连续性——我们还没有验证逆函数是否具有连续性——以及微分——我们也还没有验证逆函数是否可微分。但是，我们将讨论这个性质背后的直觉，如果这个性质不直观，我们将在下面展示。

导数定义的直觉过程

	ƒ' = 1/ ƒ-1' ∘ ƒ (a)	ƒ-1' = 1/ ƒ' ∘ ƒ-1 (a)
给定逆函数关系	ƒ-1 ∘ ƒ (x) = x	ƒ ∘ ƒ-1 (y) = y
x的导数	ƒ-1 ∘ ƒ (x) ⋅ ƒ'(x) = 1	ƒ ∘ ƒ-1 (y) ⋅ ƒ-1' = 1
	ƒ' = 1/ ƒ-1' ∘ ƒ (a)	ƒ-1' = 1/ ƒ' ∘ ƒ-1 (a)
	$\blacksquare$	$\blacksquare$

微分

在关于逆函数的章节中，我们已经很容易地声明了计算逆函数导数的公式，与原函数的导数的关系为ƒ' = 1/ ƒ^-1' ∘ ƒ (a)。然而，它包含一个注意事项，即ƒ^-1' ∘ ƒ (a) ≠ 0。证明应该可以从公式本身推断出来（提示：代入ƒ^-1' = ƒ (a) ≠ 0）。我们在那一节中展示了这是通过链式法则的应用得出的，并且附带了一个证明实际上不是证明的说明。我们说它不是，因为我们还没有弄清楚微分是否适用于逆函数。由于我们证明了原始函数是连续的，则逆函数是连续的，因此，我们需要检查微分是否也适用（因为微分需要连续性）。

练习

1. 证明所有周期函数都没有逆函数。
2. 证明所有不受限制的偶函数E(x) : E(a) = E(-a) ∀a∈ R都没有逆函数。