实分析/赋范线性空间

我们将简要回顾线性代数中关于线性空间及其性质的概念。这不是一个详尽的讨论，因此建议读者在不熟悉这些主题的情况下查阅线性代数教材以了解更多详细信息。

线性空间

线性空间（也称为向量空间）是一个集合$V$在域$\mathbb {F}$上，在$V$上定义了两个运算，加法和标量乘法。设$x,y\in V$和$\alpha ,\beta \in \mathbb {F}$。以下八个性质定义了线性空间的结构。

1.	$x+y=y+x$（加法交换律）
2.	$(x+y)+z=x+(y+z)$（加法结合律）
3.	存在唯一元素$0\in V$，使得$x+0=x$（加法单位元）
4.	对于每个$x\in V$，存在$(-x)\in V$，使得$x+(-x)=0$（加法逆元）
5.	$1x=x$（乘法单位元乘以标量）
6.	$\alpha (\beta x)=(\alpha \beta )x$（标量乘法的结合律）
7.	$(\alpha +\beta )x=\alpha x+\beta x$
8.	$\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y$

如果域$\mathbb {F} =\mathbb {R}$，我们称之为**实线性空间**。类似地，如果域$\mathbb {F} =\mathbb {C}$，我们称之为**复线性空间**。我们将研究范围限制在实线性空间。线性空间（或向量空间）的元素称为**向量**。

示例

欧几里得空间

集合$\mathbb {R} ^{n}$是所有实数的n元组的集合。所以对于某个$x\in \mathbb {R} ^{n}$，$x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$，其中$x_{i}\in \mathbb {R}$，$1\leq i\leq n$。假设$x,y\in \mathbb {R} ^{n}$和$\alpha \in \mathbb {R}$。该集合是一个线性空间。加法属性和标量乘法由以下公式给出：

$x+y=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})+(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\dots ,x_{n}+y_{n})$

和

$\alpha x=\alpha (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\dots ,\alpha x_{n}).$

读者应该验证$\mathbb {R} ^{n}$满足上述线性空间的八个性质。回想一下，欧几里得空间配备了内积（通常在$\mathbb {R} ^{n}$中称为点积）表示为：

$\langle x,y\rangle =x\cdot y=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$.

这在接下来的例子中会很有用。

子空间

向量空间 $V$ 的一个子空间是 $V$ 的一个非空子集 $W\subseteq V$，使得 $W$ 也是一个线性空间。所以对于任何 $x,y\in W$ 和 $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$，我们有 $\alpha x+\beta y\in W$（即 $W$ 在加法和标量乘法下是封闭的）。

示例

考虑 $V=\mathbb {R} ^{3}$ 和 $A=\{(2,0,0),(0,43,0)\}\subset V$。那么 $A$ 的生成空间是集合 $W=\mathrm {span} A=\{(x_{1},x_{2},0):x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} \}$。我们将证明集合 $W$ 是 $V$ 的子空间。

证明

首先，我们需要证明零元素在 $W$ 中（否则它不能是线性空间）。它遵循

$0(2,0,0)+0(0,43,0)=(0,0,0)+(0,0,0)=(0,0,0)\in W$.

因此，$W\neq \emptyset$。现在，假设$x,y\in W$ 且 $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$。我们可以看到

${\begin{aligned}\alpha x+\beta y&=\alpha (x_{1},x_{2},0)+\beta (y_{1},y_{2},0)\\&=(\alpha x_{1},\alpha x_{2},0)+(\beta y_{1},\beta y_{2},0)\\&=(\alpha x_{1}+\beta y_{1},\alpha x_{2}+\beta y_{2},0)\\&=(z_{1},z_{2},0)\\&=z\end{aligned}}$.

由于$z_{1},z_{2}\in \mathbb {R}$，根据实数域的性质，我们有$z\in W$。因此，这个集合在向量空间运算下是封闭的。所以，$W$ 是 $\mathbb {R} ^{3}$ 的子空间。

敏锐的读者应该注意到，这个子空间在三维空间中是一个平面。

基

向量的一个线性组合是以下表达式

$\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}$,

其中$x_{i}\in V$ 且 $\alpha _{i}\in \mathbb {R}$，对于 $1\leq i\leq n$。这可以用更简洁的符号表示为

$\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}$.

给定线性空间 $A\subseteq V$ 的一个非空子集，$A$ 中所有元素的线性组合的集合称为 $A$ 的 **线性空间**，我们用 $\mathrm {span} A$ 表示。$A$ 的线性空间将生成 $V$ 的一个子空间 $W$。

来自 $V$ 的向量集 $x_{1},\dots ,x_{k}$ 被称为 **线性无关**，当

$\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}=\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{k}x_{k}=0$

只有当 $\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{k}=0$ 时。如果任何非零 $\alpha _{i}$ 满足这个等式，那么向量集被称为 **线性相关**。

线性空间 $V$ 的 **基** 是一个线性无关的向量集，它可以生成 $V$。也就是说，子集 $A\subseteq V$ 是一个基，如果 $\mathrm {span} A=V$ 并且 $A$ 是一个线性无关的向量集。生成一个向量空间所需的线性无关向量的数量定义了该向量空间的 **维数**。如果一个向量空间可以由一组有限的基向量生成，则该向量空间是 **有限维** 的。如果一个向量空间不是有限维的，那么它就是 **无限维** 的。我们用 $\mathrm {dim} V$ 表示一个向量空间的维数。

示例

向量空间 $\mathbb {R} ^{n}$ 的标准基是集合

$\{e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}\}=\{(1,0,\dots ,0),(0,1,\dots ,0),\dots ,(0,0,\dots ,1)\}$,

其中第 $i$ 个基向量在第 $i$ 个位置上是 1，其他位置都是 0。

因此，在三维空间 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，我们的基是集合

$\{e_{1},e_{2},e_{3}\}=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$.

因此，$\mathbb {R} ^{3}$ 中的任何向量都可以表示为这些基向量的线性组合。建议读者练习证明向量作为基向量的线性组合的表示是唯一的。请注意，基集有 3 个元素，因此它所跨越的空间的维数为 3，即 $\mathrm {dim} \mathbb {R} ^{3}=3$。

范数

在线性空间中，我们通常希望有一个关于元素“大小”或元素之间距离的概念。范数是一个函数 $\|\cdot \|:V\to \mathbb {R}$，使得对于 $x,y\in V$ 和 $\alpha \in \mathbb {R}$ 以下性质成立。

1. $\|x\|\geq 0$
2. $\|x\|=0\iff x=0$
3. $\|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|$
4. $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$（三角不等式）

范数是一种描述单个元素大小的方法。现在，如果范数用于描述向量之间差的大小（$\|x-y\|$），它就衡量了这两个向量之间的距离。因此，我们发现*范数在空间* $V$ *上诱导了一个度量*。因此，我们用以下公式在 $V$ 上描述一个度量函数：

$d(x,y)=\|x-y\|$.

鼓励读者验证此函数是否满足度量属性。

具有范数的线性空间称为**规范线性空间**。一个完备的规范线性空间称为*巴拿赫空间*。

示例

欧几里得空间 $\mathbb {R} ^{n}$ 的范数由以下公式给出：

$\|x\|=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}$.

这应该很熟悉，来自勾股定理。由于 $\mathbb {R}$ 是完备的，我们有 $\mathbb {R} ^{n}$ 也是完备的。因此，欧几里得空间也是巴拿赫空间的一个例子。我们还应该注意到，这里的范数可以表示为：

$\|x\|=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}=\langle x,x\rangle ^{\frac {1}{2}}$.

因此，在这种情况下，*内积在我们的空间上诱导了一个范数*。