实分析/幂级数

请为此部分做出贡献，它已被忽略。我已经开始，但尚未完成。

定义

我们已经遇到了级数。幂级数是以下形式的级数

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 其中 $a_{n}\in \mathbb {R} \ \forall n\in \mathbb {N}$.

$f$ 也可以被看作是一个实值函数。在本节中，我们将尝试回答的第一个问题是，对于哪些值的 $x$，$f$ 是收敛的。

收敛

我们可以在这里使用根式判别法。我们可以看到

$\limsup _{n\to \infty }{\left\vert a_{n}x^{n}\right\vert }^{1/n}=\vert x\vert \limsup _{n\to \infty }{\left\vert a_{n}\right\vert }^{1/n}=\vert x\vert R$

从前面可以看出，存在一个半径 $r=1/R$ 使得 $f$ 在 $\vert x\vert <r$ 时收敛，在 $\vert x\vert >r$ 时发散。这个半径在复分析中具有特殊意义，但我们在这里不会涉及。

可微性

根据根式检验，如果 $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ 收敛，那么 $\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)a_{n+1}x^{n}$ 也收敛，因为 $\limsup _{n\to \infty }\vert (n+1)a_{n+1}\vert ^{1/n}=\limsup _{n\to \infty }\vert a_{n}\vert ^{1/n}$，因为 $\lim _{n\to \infty }(n+1)^{1/n}=1$，因此该幂级数与原始幂级数具有相同的收敛半径。直观上，我们猜想它应该是原始幂级数的导数，但还需要证明。我们来看牛顿商

$f^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x+h)^{n}-\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}{h}}$

$f^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x+h)^{n}-a_{n}x^{n}}{h}}$

$f^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x^{n}+nhx^{n-1}+o(h^{2})-x^{n})}{h}}$

$f^{\prime }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }na_{n}x^{n}-1=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)a_{n+1}x^{n}$

泰勒级数

幂级数的一个用途是逼近函数。我们可以看到 $f(0)=a_{0}$，因此如果幂级数 $f$ 是对 $g$ 的良好近似，那么 $a_{0}=g(0)$。

我们还可以从 [[#Differentiability|]] 中看到，我们需要 $1.f^{\prime }(0)=a_{1}$，以及 $2.f^{\prime \prime }(0)=a_{2}$，并且通过归纳可得 $n!.f^{(n)}(0)=a_{n}$，所以我们将 $f$ 的泰勒级数定义为

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}$

通过平移，我们也可以用

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(t)}{n!}}(x-t)^{n}$

当然，要做到这一点，我们需要 $f$ 在 o 或 t 处无限次可微。