实分析/可逆性

实分析
可逆性

在分析中，证明分析中常见的错误是确保操作是可逆的。可逆性在数学中很少讨论，但它是建立基础以在数学职业生涯中取得进步的不可或缺的一部分。简单地说，

任何不改变数学语句解集的代数运算或定理应用。
可逆操作的定义

明确地说，

给定某些属性时，变量x可能值的范围。
x的解集定义

这两个定义描绘了操作不可逆时的图像；不可逆。简单来说，就是当操作通过使用操作假设比给定更多的变量时。这个主题很少被讨论的通常原因是，如果你检查提供的示例，你会发现不可逆操作涉及对公理或定理的误用。这些错误通常发生在需要证明定理或问题而不知道必要属性或定理时。

涉及运算符的示例

在您早期的数学生涯中，您可能遇到的第一个不可逆运算既是平方运算又是除法运算。我们将深入探讨这些示例。

$x^{2}=|x|^{2}$

因为正值和负值在平方时都是同一个数字，所以任何涉及平方的定理都必须考虑到正值或负值的可能性。这意味着通过平方根暴露变量x时的解集会将解集增加1，即通过引入给定值x的负数。因此，默认情况下，平方是不可逆运算。

为了使该运算可逆，x的符号必须固定。如果问题的性质禁止x为这两个值中的任何一个，那么可能的解集将被固定，即由于禁止了一定范围的值，您可以隔离解集。

$x(x^{2}-1)=0{\text{ and }}(x^{2}-1)=0$

这个例子很容易理解，因为它有一个图形组件，即通过根。提到根，应该能让你明白，从第一个方程中除以x来形成第二个方程是一个不可逆操作。

关于可逆性的更棘手的问题出现在处理不等式时。对于等式，不可逆操作就像在一侧加上而另一侧没有做一样简单。但是，不等式通常允许单边操作。

$a<b{\text{ and }}a<c\neq a<b<c$ 通常，扩大不等式的范围然后缩小它是一个不可逆的操作。一个常见的经验法则

为了使该操作可逆，使用变量 $a < b 和 a < c \neq d < c$ ，您必须证明 $a < d$ 。

以下练习将更轻松地进行数学上的严格证明。