实分析/拓扑连续性

实数集上连续性的几个性质可以通过从拓扑的角度来考察而得到扩展。在拓扑学中，通常使用一个不同的定义（即不同于标准的“ε-δ”实分析定义）。这个定义适用于任何集合之间的函数，而不仅仅是度量空间。

定义 令 $A\subseteq \mathbb {R}$。此外，令 $f:A\to \mathbb {R}$。 $f(x)$ 在 $x=c$ 处连续，当且仅当对 $f(A)$ 的每一个开子集 $V$，$U\subseteq f^{-1}(V)$ 在 $A$ 中是开的。

这里需要提到的是，“开集”这个术语可以在比实数集或度量空间更一般的环境中定义；但是，在实分析中，你已经熟悉的开集的定义就足够了。

定理

对于任何连续函数 f:A->B，U コンパクト => f(U) コンパクト。