在数学中，你可能已经习惯了表示函数、集合或数字的变量。虽然我们已经严格定义了用函数和集合（在较小程度上）赋予变量的性质以及可以对它们进行的关联操作，但我们没有关注变量如何表示数字。通常，我们只想象数字不仅仅是一个可能的值（加减的概念是公开质疑这一概念的第一种方式），而且仅仅是“一个元素”。让我们问一下，“如果我们可以在一个变量中拥有多个数字并在其上进行操作怎么办？”你来到了这里，关于向量的主题。
向量的定义
数字的集合。
假设你想要为这些向量创建一个新系统。给定一个变量v，你可能首先决定创建一些新符号来表明这个变量是一个向量，与函数或数字分开。
- v = (v1, v2) 或 w = (w1, w2)
向量，因为它们不一定是集合，所以用圆括号表示。这些括号中的每个元素都可以包含一个数字。首先要注意的是，这种符号与欧几里得图形坐标冲突，欧几里得图形坐标也用圆括号和里面的数字表示。这是真的！正如你将在本页后面的内容中看到的那样，这种共享符号是有原因的。
首先，我们必须定义一些可以对这个定义进行的操作，否则它将变得毫无用处。幸运的是，向量标准操作是加法，一个简单而美妙的操作。我们可以用这种方式定义两个向量v和w之间的向量加法
向量加法的定义
v + w = (v1 + w1, v2 + w2).
为什么？在创建新定义时，我们可以随心所欲地进行定义。当然，这个定义很简单，但看起来并不那么有趣，对吧？这是真的，我们的定义不像 v + w = ((v1 + w2)/w1, (v2 + w1)/w2) 那样有趣，但那个简单的定义已经包含了我们通常与加法相关的熟悉属性。
这些属性的完整列表列在下面
向量加法属性列表
| 结合律 |
u + (v + w) = (u + v) + w |
| 交换律 |
v + w = w + v |
| 单位元 |
∃0 : v + 0 = v |
| 逆元 |
∃w : v + w = 0 |
幸运的是，因为向量的定义依赖于已经定义的算术，这意味着我们对向量加法的定义不需要任何新的公理！让我们证明每个属性都是真的。
向量加法的第一个证明是结合律。这个简单的证明将依赖于算术加法。
向量加法结合律的证明
| 首先，我们将向量加法的定义应用于等式左侧。顺便说一下，我们将应用它两次。 我们已经知道加法是结合的。因此，我们可以交换括号并反向应用定义，也称为逆向工作
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![{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {u}}+({\vec {v}}+{\vec {w}})&=(u_{1},u_{2})+(v_{1}+w_{1},v_{2}+w_{2})\\&=(u_{1}+[v_{1}+w_{1}],u_{2}+[v_{2}+w_{2}])\\&=([u_{1}+v_{1}]+w_{1},[u_{2}+v_{2}]+w_{2})\\&=(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2})+(w_{1},w_{2})\\&=({\vec {u}}+{\vec {v}})+{\vec {w}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fdb209f9f1095a6178e4d9dfe91a9f267c0a040)
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对于交换律，证明类似于上一个。
向量加法交换律的证明
| 首先，我们将向量加法的定义应用于等式左侧。 我们已经知道加法是交换的。因此，我们可以交换变量并反向应用定义，也称为逆向工作
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对于单位元，证明类似于上一个。
向量加法单位元的证明
| 首先，我们将向量加法的定义应用于等式左侧。 我们知道加法已经存在单位元。因此，我们可以使用它并反向应用定义，即反向操作。
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