黎曼几何/曲线参数化

定义（正则曲线）:

令 $(M,g)$ 为黎曼流形。曲线 $\gamma :I\to M$ 称为 **正则** 当且仅当对于所有 $t\in {\overset {\circ }{I}}$，我们有

$\gamma '(t)\neq 0$.

命题（正则曲线的弧长参数化存在性）:

令 $\gamma :I\to \mathbb {R} ^{n}$ 为正则、连续可微曲线，其中 $I=(a,b)\subseteq \mathbb {R}$ 是一个开连通区间。那么存在不同的开连通区间 $J=(c,d)\subseteq \mathbb {R}$ 和一个连续可微的双射函数 $\rho :J\to I$，使得

$\forall t\in J:\|(\gamma \circ \rho )'(t)\|=1$.

证明：由链式法则，我们有

$(\gamma \circ \rho )'(t)=\gamma '(\rho (t))\rho '(t)$

对于所有 $t\in J$。因此，方程 $\|(\gamma \circ \rho )'(t)\|=1$ 等价于

$|\rho '(t)|={\frac {1}{\|\gamma '(\rho (t))\|}}$,

并且后一方程解的存在性意味着前一方程解的存在性。此外，求解

$\rho '(t)={\frac {1}{\|\gamma '(\rho (t))\|}}$,

因为等式的右边总是正的。从 Peano 定理，我们可以推断出存在一个 $\rho$ 在 $0$ 的邻域上满足给定的恒等式，其中我们施加了初始条件 $\rho (0)=t_{0}$，其中 $t_{0}\in J$ 是任意的。然后我们可以 将解扩展到最大区间，$\Box$

命题（正则修正的存在性）:

令 $\gamma :[0,1]\to \mathbb {R} ^{n}$ 是一个二次连续可微的曲线。那么存在一个修正曲线 ${\tilde {\gamma }}:[0,c]\to \mathbb {R} ^{n}$，定义在区间 $[0,c]$ 上，其中 $c>0$ 是某个正数，使得

$\forall t\in [0,c]:\|{\tilde {\gamma }}'(t)\|=1$.

证明： 定义

$U:=\{t\in [0,1]|\gamma '(t)\neq 0\}=(\gamma ')^{-1}(\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\})$;

由于 $\gamma '$ 的连续性，这是一个 $[0,1]$ 的开子集。它最多分解成可数个连通分量

$\bigcup _{n\in \mathbb {N} }U_{n}$，其中 $U_{n}=(a_{n},b_{n})$ 对于所有 $n\in \mathbb {N}$；

当连通分量的数量有限时，比如 $N$ 个，我们按照惯例设置 $a_{n}=b_{n}=1$，其中 $n>N$。

现在固定一个 $n$，使得 $a_{n}<b_{n}$。我们希望修改 $\gamma |_{(a_{n},b_{n})}$，使得对于修改域中的所有点 $t$（无论它是什么），修改后的导数的绝对值等于 $1$。通过对 $n$ 的归纳，我们假设我们已经找到了一个修改 ${\tilde {\gamma }}_{n-1}:[0,c_{n}]\to \mathbb {R} ^{n}$，它遍历 $\Box$

定义（按弧长参数化）:

命题（按弧长参数化的特征）: