环论/整环和域

定义 1: 交换环 R 中的非零元素 'a' 称为零因子，如果存在 R 中的某个非零元素 b 使得 ab=0。

例如，在 2x2 矩阵环中，矩阵

${\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}$

是一个零因子，因为

${\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.$

定义 2: 如果一个交换环没有零因子，则称之为整环。等价地，如果一个交换环满足$ab=0\Rightarrow a=0\ or\ b=0$，或者换句话说，$a\neq 0,b\neq 0\Rightarrow ab\neq 0\forall a,b\in R$，则称之为整环。

例如，$\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ 都是整环。 $\mathbb {Z} _{6}$ 不是整环（这里 2.3=0），但 $\mathbb {Z} _{5}$ 是。

定义 3: 环 (R,+,.) 称为除环，如果它关于操作 '.' 形成一个群。如果该群是阿贝尔群，则该环称为域。我们将再次强调域的属性

域 F 是一个集合，它有两个操作，通常称为加法和乘法，分别用 + 和 · 表示，满足以下公理

• F 关于加法和乘法的封闭性

对于所有 a, b 在 F 中，a + b 和 a · b 都在 F 中（或者更正式地说，+ 和 · 是 F 上的二元运算）。

• 加法和乘法的结合律

对于所有 a, b, 和 c 在 F 中，以下等式成立：a + (b + c) = (a + b) + c 且 a · (b · c) = (a · b) · c。

• 加法和乘法的交换律

对于所有 a 和 b 在 F 中，以下等式成立：a + b = b + a 且 a · b = b · a。

• 加法和乘法单位元

F 中存在一个元素，称为加法单位元，用 0 表示，使得对于所有 a 在 F 中，a + 0 = a。同样地，存在一个元素，称为乘法单位元，用 1 表示，使得对于所有 a 在 F 中，a · 1 = a。出于技术原因，加法单位元和乘法单位元必须不同。

• 加法和乘法逆元

对于 F 中的每个 a，存在 F 中的一个元素 −a，使得 a + (−a) = 0。类似地，对于 F 中除 0 之外的任何 a，存在 F 中的一个元素 a−1，使得 a · a−1 = 1。（元素 a + (−b) 和 a · b−1 也分别表示为 a − b 和 a/b。）换句话说，减法和除法运算存在。

• 乘法对加法的分配律

对于所有 a, b 和 c 在 F 中，以下等式成立：a · (b + c) = (a · b) + (a · c)。

显然，每个域都是一个除环。域的最简单例子是$\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ 和 $\mathbb {C}$。一个不是域的除环是四元数域，描述如下

考虑 $\mathbb {R} ^{4}$。用符号 1 代表 (1,0,0,0)；用 i 代表 (0,1,0,0)；用 j 代表 (0,0,1,0) 以及用 k 代表 (0,0,0,1)。显然，$\mathbb {R} ^{4}$ 中的每一个元素都可以表示为 $\alpha _{0}(1)+\alpha _{1}(i)+\alpha _{2}(j)+\alpha _{3}(k)$，其中 $\alpha _{i}$ 是某个实数。我们根据以下规则在 $\mathbb {R} ^{4}$ 上赋予加法和乘法：两个元素 $\alpha _{0}(1)+\alpha _{1}(i)+\alpha _{2}(j)+\alpha _{3}(k)$ 和 $\beta _{0}(1)+\beta _{1}(i)+\beta _{2}(j)+\beta _{3}(k)$ 的加法就简单地是 $(\alpha _{0}+\beta _{0})(1)+(\alpha _{1}+\beta _{1})(i)+(\alpha _{2}+\beta _{2})(j)+(\alpha _{3}+\beta _{3})(k)$。对于乘法，要注意如果我们强加以下规则：

$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1,$

那么这些规则将决定 i、j 和 k 所有可能的乘积。

例如，由于

$-1=ijk,$

在等式两边右乘以 k，得到

${\begin{aligned}-k&=ijkk,\\-k&=ij(-1),\\k&=ij.\end{aligned}}$

所有其他可能的乘积都可以用类似的方法确定，这给出了以下表格：

${\begin{alignedat}{2}ij&=k,&\qquad ji&=-k,\\jk&=i,&kj&=-i,\\ki&=j,&ik&=-j.\end{alignedat}}$

对于两个元素 $\alpha _{0}(1)+\alpha _{1}(i)+\alpha _{2}(j)+\alpha _{3}(k)$ 和 $\beta _{0}(1)+\beta _{1}(i)+\beta _{2}(j)+\beta _{3}(k)$，它们的乘积由以上规则和分配律决定 i、j、k 的乘积。这给出了以下表达式

$\alpha _{0}\beta _{0}-\alpha _{1}\beta _{1}-\alpha _{2}\beta _{2}-\alpha _{3}\beta _{3})(1)+(\alpha _{0}\beta _{1}+\alpha _{1}\beta _{0}+\alpha _{2}\beta _{3}-\alpha _{3}\beta _{2})(i)+(\alpha _{0}\beta _{2}-\alpha _{1}\beta _{3}+\alpha _{2}\beta _{0}+\alpha _{3}\beta _{1})(j)+(\alpha _{0}\beta _{3}-\alpha _{1}\beta _{2}-\alpha _{2}\beta _{1}+\alpha _{3}\beta _{0})(k)$

留给读者验证，这样得到的代数结构确实是一个除环。

关于整环和域的基本定理

定理 1.11：设 R 为一个交换环。那么 R 是一个整环当且仅当 $ab=ac\Rightarrow b=c$，其中 $a,b,c\in R,a\neq 0$。

证明：$\Rightarrow$：显然 ab=ac 意味着 a(b-c)=0。由于 a 不为零且 R 是一个整环，所以 b-c=0 或 b=c。

$\Leftarrow$：假设对于某个非零 a，我们有 ab=0。但然后 ab=a0，根据我们的假设 b=0。$\Box$.

注意：基本上，上述定理意味着积分域是满足消去律的环。在不满足消去律的环中，我们必然会有一些零因子。

定理 1.12：每个域都是一个积分域。

证明：令 R 为任意域。令 ab=ac，其中 $a,b,c\in R$ 且 $a\neq 0$。由于 $a^{-1}$ 存在，因此在 ab=ac 的两边乘以它，我们得到 b=c，即消去律成立。根据前一个定理，R 是一个积分域。 $\Box$

注意：上述结果的逆命题不一定成立，例如 $\mathbb {Z}$。

定理 1.13：每个有限积分域都是一个域。

证明：令 R 为有限积分域，并令 $x\in R$，其中 $x\neq 0,1$。只要证明 x 是一个单位即可。现在，列表 1,x,x²,x³... 不会无限延续下去，因为 R 是有限的。假设，不失一般性，对于某个 i<j，xⁱ=x^j。然后 xⁱ-x^j=0，由于 i<j，因此 x^j-i 是 R 的一个合法成员（事实上，x^j-i-1 也是）。我们有 xⁱ(1-x^j-i)=xⁱ-x^j=0。由于 x 不为零，并且 R 是一个积分域，因此 xⁱ 不为零。但随后 1-x^j-i=0 或 x^j-i=1。由此得出，由于 x^j-i-1x=1。因此，x 是一个单位，其逆元为 x^j-i-1。 $\Box$

推论：环 ${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$ 是一个域，当且仅当 p 是素数。

证明：$\Rightarrow$：我们将用数字 0,1,...p-1 来表示 ${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$ 中的元素。现在假设 p 是合数，且 p=ab，其中 1<a,b<p。现在 ab=0 在 ${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$ 中，尽管 a,b 本身不为零。这与 ${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$ 是一个积分域的事实相矛盾。

$\Leftarrow$ 假设 p 是素数。只需证明 ${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$ 是一个整环。设 a，b 是 ${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$ 中的非零元素，使得 ab=0。但 p|ab，因为 p 是素数，所以 p|a 或 p|b。这只是另一种说法，即 a=0 或 b=0 在 ${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$ 中，因此 ${\frac {\mathbb {Z} }{p\mathbb {Z} }}$ 是一个整环。$\Box$

定理 1.14: 令 R 为一个环，使得方程 ax=b 对所有 $a(\neq 0)\in R$ 和所有 $b\in R$ 都有解。那么 R 是一个除环。

证明: 我们首先证明 R 没有零因子，然后证明它有一个单位元。令 ab=0，其中 a，b 为非零元素。现在 abx=0 对 R 中的每个 x 都成立。令 r 为 R 中的任意元素。现在根据假设，存在一个 x 使得 bx=r。使用这个 x，我们看到对 R 中的任何 r，ar=0。现在考虑 ax=a。显然存在一个 c 使得 ac=a。但 ar=0 意味着 ac=0=a。这与 a 被选为非零元素的事实相矛盾。因此 R 没有零因子。现在令 e 为 ax=a 的解。显然 e 为非零元素。那么 ae=a，并且 a(e-e²)=ae-ae²=a-ae=0，因此 e=e²。那么对任何 x，(xe-x)e=xe-xe=0，因为 e 为非零元素，所以 xe=x，因此 R 有单位元。（ex=x 的证明类似）。

现在如果 a 为非零元素，那么 ax=e 有一个解 a^-1。并且 (a^-1a-e)a^-1=a^-1e-ea^-1=0，因此因为 a^-1 为非零元素，我们有 a^-1a-e=0 或 a^-1a=e。那么 aa^-1=a^-1a=e，因此 a 是一个单位元。类似地，所有非零元素都是单位元。$\Box$