环理论/环的性质

现在我们将讨论一些与环相关的基本定理。我们认为学习环理论的最佳方法是自己尝试简单定理的证明。因此，鼓励读者在阅读此处给出的证明之前，先自己完成定理的证明。通常，我们只提供证明的草稿，读者预计在这种情况下会填补空白。

基本性质

定理 1.1：如果 R 是一个环，且$a,b,c\in R$；那么

1. a+b=a+c 意味着 b=c。（消去律）

2. -(-a)=a。

3. R 的零元素是唯一的。

4. 任何元素的加法逆元都是唯一的。

证明:

1. 显然在 a+b=a+c 两边加 -a 都能得到我们想要的结果。

2. 只需证明 a+(-a)=0，这从 -a 的定义中可以明显看出。

3. 如果在 R 中存在两个零元素 0 和 0'，则 0+0'=0' 且 0+0'=0，根据定义，所以 0=0'。

4. 如果 a' 和 a'' 是 a 的两个逆元，则 a'=a'+0=a'+a+a''=0+a''=a''。$\Box$

定理 1.2：如果 R 是一个环，则对于任何$a,b,c\in R$；

1. a0=0a=0。

2. a(-b)=(-a)b=-(ab)。

3. (-a)(-b)=ab。

4. a(b-c)=ab-ac。

如果此外，R 有一个单位元素 1，那么

5. (-1)a=-a。

6. (-1)(-1)=1.

证明:

1. a0+0=a0=a(0+0)=a0+a0。根据消去律，现在可以得出 a0=0。类似地，0a=0。

2. 只需证明 a(-b)=-(ab) 或等效地 a(-b)+ab=0。现在 a(-b)+ab=a(b-b)=a0=0，根据 1.，所以结果得到证明。

3. (-a)(-b)=-(a(-b))，根据 2. 再次 -(a(-b))=-(-(ab))=-(-ab)，根据 2. 但根据定理 1.1(2) -(-ab)=ab。

4. a(b-c)=a(b+(-c))=ab+a(-c)=ab-ac，根据 2.

5. (-1)a+a=(-1)a+1a=(-1+1)a=0a=0，根据 1.，所以 (-1)a=-a。

6. 在 5. 中令 a=-1，并应用定理 1.1(2)。$\Box$

更多结果

强烈建议读者将本节中的定理视为练习。

定理 1.3：证明一个环 R 是可交换的，当且仅当$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ 对所有 $a,b\in R$ 成立。

证明：假设 R 是交换环。那么显然结果成立。（事实上，二项式定理：$(a+b)^{n}=\textstyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}$ 在这种情况下成立。尝试使用归纳法和帕斯卡恒等式来证明它：$\textstyle {\binom {n}{k}}+\textstyle {\binom {n}{k+1}}=\textstyle {\binom {n+1}{k+1}}$。）反之，假设对于每个 $a,b\in R$ 给定的关系都满足。现在，将分配律应用于 $(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)$ 我们得到 $=a^{2}+ab+ba+b^{2}=(a+b)^{2}=a^{2}+ab+ab+b^{2}$，通过消去律我们有 ab=ba。因此 R 是交换环。$\Box$

定理 1.4：如果 R 是一个满足单位元环所有条件的系统，但可能除 a+b=b+a 之外，证明公理 a+b=b+a 必须在 R 中成立，因此 R 是一个环。

证明：(a+b)(1+1)=a1+a1+b1+b1=a+a+b+b 以及 (a+b)(1+1)=a1+b1+a1+b1=a+b+a+b 分别由左分配律和右分配律得出。将两个恒等式相等，并应用消去律，我们得到结果。$\Box$

定理 1.5：设 R 为一个环，使得 $a^{2}=a$ 对于所有 $a\in R$ 成立。证明 R 是交换环。

注意：这样的环称为布尔环。

证明: $(a+b)^{2}=a+b$ 意味着 $a^{2}+ab+ba+b^{2}=a+b$. 由于 $a^{2}=a$ 以及 $b^{2}=b$ 所以 $ab=-ba$ 通过消去律。现在，由于 $a+a=(a+a)^{2}=a^{2}+2a^{2}+a^{2}=a+a+a+a$ 所以 $a+a=0\ \forall a\in R$ 因此 R 中每个元素都是其自身的加法逆元。因此，$-ba=ba$ 因此 $ab=ba$.$\Box$

定理 1.6: 如果 R 是一个具有单位元的环，满足 $(xy)^{2}=x^{2}y^{2}$ 对所有 $x,y\in R$ 成立，证明 R 是可交换的。

证明: 根据我们的假设 $[x(y+1)]^{2}=x^{2}(y+1)^{2}=x^{2}(y^{2}+2y+1)=x^{2}y^{2}+2x^{2}y+x^{2}$，以及根据分配律 $[x(y+1)]^{2}=[xy+x]^{2}=(xy+x)(xy+x)=x^{2}y^{2}+xyx+x^{2}y+x^{2}$。因此将两者相等并应用消去律，我们有 $xyx=x^{2}y$，它作为一个恒等式成立。现在将 x+1 代入 x 的恒等式中，我们有 $(x+1)y(x+1)=(x+1)^{2}y$。这给出了 $(x+1)(yx+y)=(x+1)(xy+y)$，并且在应用分配律后，我们有 $xyx+xy+yx+y=x^{2}y+xy+xy+y$。消去律现在给出 $xy=yx$，如所要求的那样。$\Box$

定理 1.7: 令 R 为一个环，使得对于 $x\in R$，存在唯一的 $a\in R$ 使得 xa=x。证明 ax=x。因此推断如果 R 具有唯一的右单位元 e，则 e 是 R 的单位元。

证明: xa=x 意味着 x(a+ax-x)=xa+xax-x²=x。因此 a+ax-x=a 或者 ax=x。如果 R 具有唯一的右单位元 e，则 xe=x 意味着 ex=x，因此 e 是 R 的单位元。$\Box$

定理 1.8: 令 R 为一个具有单位元 $1\in R$ 的环。假设对于 $x\neq 0\in R\exists$ 唯一的 $y\in R$ 使得 xyx=x。证明 xy=yx=1，即 x 在 R 中可逆。

证明：假设存在 $a\in R$ 使得 xa=0。现在，x(y+a)x=(xy+xa)x=xyx+xax=xyx=x，根据 y 的唯一性，可得 y+a=a，即 a=0。所以 $xa=0\Rightarrow a=0$。现在 x(yx-1)=xyx-x=x-x=0，所以 yx-1=0。因此 yx=1。同理 xy=1。所以 x 可逆。$\Box$

定理 1.9：证明如果 1-ab 在具有单位元的环 R 中可逆，则 1-ba 也可逆。

证明：令 x 为 1-ab 的逆，即令 x(1-ab)=(1-ab)x=1。现在 (1-ba)(1+bxa)=1+bxa-ba-babxa=1-ba+b(1-ab)xa=1-ba+ba=1。同理 (1+bxa)(1-ba)=1。所以 1-ba 可逆，其逆为 1+bxa。$\Box$

定理 1.10：如果 a、b 是环 R 中的任意两个元素，m 和 n 是任意两个正整数，则证明以下结论：

1. (m+n)a=ma+na。

2. m(a+b)=ma+mb。

3. m(na)=(mn)a。

4. (na)(mb)=(nm)(ab)。

5. a^maⁿ=a^m+n。

6. (a^m)ⁿ=a^mn。

证明 我们将证明 4.，并将其余部分留给读者作为练习。

4. $(na)(mb)=(\underbrace {a+\cdots a} _{n\ times})(\underbrace {b+\cdots b} _{m\ times})=\underbrace {ab+\cdots ab} _{nm\ times}$，通过反复运用分配律可以得到。右边就是 (nm)(ab)。$\Box$