定义（环扩张）:
当且仅当 S {\displaystyle S} 是一个环，并且 R ⊂ S {\displaystyle R\subset S} 是 S {\displaystyle S} 的子环，我们说 S {\displaystyle S} 是 R {\displaystyle R} 的**环扩张**，并写成 S / R {\displaystyle S/R} 。
注意，如果 S / R {\displaystyle S/R} 是一个环扩张，那么 S [ x ] / R [ x ] {\displaystyle S[x]/R[x]} 是一个环扩张；实际上，集合 S [ x ] {\displaystyle S[x]} 是所有系数在 S {\displaystyle S} 中的多项式的集合，集合 R [ x ] {\displaystyle R[x]} 是所有系数在 R {\displaystyle R} 中的多项式的集合，并且 R [ x ] {\displaystyle R[x]} 是 S [ x ] {\displaystyle S[x]} 的子环。
命题（分裂环的存在）:
令 R {\displaystyle R} 为一个环，并令 p ∈ R [ x ] {\displaystyle p\in R[x]} 为一个关于 R {\displaystyle R} 的多项式。那么存在一个环扩张 S / R {\displaystyle S/R} 使得在 S ¯ {\displaystyle {\overline {S}}} 中， p {\displaystyle p} 可以分解成线性因子的乘积，即
证明： 我们用关于多项式 p {\displaystyle p} 的次数进行归纳证明。首先假设 p {\displaystyle p} 可以分解成两个多项式 ◻ {\displaystyle \Box }
![{\displaystyle S[x]/R[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/201ea9121e77cbc4fccd71e65daedb65e38ec47d)
![{\displaystyle S[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2ec9a5aa2223a25c0c76570fe05c7b812d796a0)
![{\displaystyle R[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce54622cb380383ab3a42441b056626ea0d2440)
![{\displaystyle p\in R[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4830e9e21e96da6790f048b35d448d9884d4409e)
对于某些 
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