我们将从环的定义开始。
定义 1:环是一个非空集合 R,它与由 + 和 . 定义的两个二元运算一起,满足以下性质对任何
成立



- 存在一个用
表示的元素,使得
。0 被称为 R 中的加法单位元或零元素。
- 对于每个
,存在一个元素
使得
。b 被称为 a 的加法逆元或负数,记为 b=-a,使得 a+(-a)=0。


(左分配律。)
(右分配律。)
我们将环表示为 (R,+,.)。当上下文清楚时,我们只讨论环 R,并假设运算 + 和 . 是隐含的。我们也会省略运算 a.b 中的 .,只说 ab。
环的前 5 个公理仅仅意味着 (R,+) 是一个阿贝尔群。接下来的两个公理意味着 (R,.) 是一个半群。如果
,则称环为交换环。如果
,则称环为布尔环。如果存在一个元素
使得
,则称环 R 为具有单位元或幺元或恒等元的环。设 R 为具有单位元 e 的环。如果存在一个元素
使得
,则称元素
为可逆元。如果 n 是一个正整数,a 是环 R 中的一个元素,则我们定义
和
。
例子
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最重要的环之一是整数环
,其中通常的加法和乘法分别扮演着 + 和 . 的角色。它是一个具有单位元 1 的交换环。偶数集
是一个没有单位元的环的例子。与
一样,有理数集
、实数集
和复数集
也是具有单位元的环。然而
不是环。
高斯整数环由集合
给出,其中复数的通常加法和乘法是运算。这里 i 代表 (0,1),如复平面上通常所见。
所有具有实数项的 n 乘 n 矩阵的集合,在矩阵的通常加法和乘法下,是一个具有单位元的非交换环的例子。
模 n 的整数环
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现在我们稍微偏离一下,讨论一种特殊的等价关系,它会产生一类重要的有限环。
令 n 为一个正整数。如果两个整数 *a* 和 *b* 的差 *a* − *b* 是 n 的整数倍,则称它们在模 *n* 下同余。

上述数学表达式读作:"*a* 在模 *n* 下同余于 *b*"。
例如,

因为 38 − 14 = 24,它是 12 的倍数。对于正数 *n* 和非负数 *a* 和 *b*,*a* 和 *b* 的同余也可以理解为断言这两个数在除以模数 *n* 后具有相同的余数。所以,

因为这两个数在除以 12 后具有相同的余数 (2)。等效地,用 12 对这两个数进行完整除法的分数部分是相同的:.1666... (38/12 = 3.166..., 2/12 = .1666...). 从先前的定义中,我们也看到它们的差,a - b = 36,是 12 的整数倍 (n = 12,36/12 = 3)。
对于 *a* 的负值,也适用相同的规则

使这种关系成为同余关系(尊重加法、减法和乘法)的性质如下。
如果
并且
,则



与任何同余关系一样,模n同余是一个等价关系,整数a的等价类,记为
,是集合
。这个集合,由模n与a同余的所有整数组成,被称为a模n的同余类或剩余类。该同余类的另一种表示方法,要求在上下文中已知模,为
。
模n的同余类集合记为
(或者,
或
),定义为

当n ≠ 0时,
有n个元素,可以写成

我们可以根据以下规则定义
上的加法、减法和乘法



验证这是一个正确的定义使用了之前给出的性质。
这样,
就变成了一个交换环。例如,在环
中,我们有

就像 24 小时制中的算术一样。