环理论/环

我们将从环的定义开始。

定义 1：环是一个非空集合 R，它与由 + 和 . 定义的两个二元运算一起，满足以下性质对任何 $a,b,c\in R$ 成立

• $a+b\in R$
• $a+b=b+a$
• $a+(b+c)=(a+b)+c$
• 存在一个用 $0\in R$ 表示的元素，使得 $a+0=a$。0 被称为 R 中的加法单位元或零元素。
• 对于每个 $a\in R$，存在一个元素 $b\in R$ 使得 $a+b=0$。b 被称为 a 的加法逆元或负数，记为 b=-a，使得 a+(-a)=0。
• $a.b\in R$
• $a.(b.c)=(a.b).c$
• $a.(b+c)=a.b+a.c$ (左分配律。)
• $(a+b).c=a.c+b.c$ (右分配律。)

我们将环表示为 (R,+,.)。当上下文清楚时，我们只讨论环 R，并假设运算 + 和 . 是隐含的。我们也会省略运算 a.b 中的 .，只说 ab。

环的前 5 个公理仅仅意味着 (R,+) 是一个阿贝尔群。接下来的两个公理意味着 (R,.) 是一个半群。如果$a.b=b.a\ \forall a,b\in R$，则称环为交换环。如果$x^{2}=x\ \forall x\in R$，则称环为布尔环。如果存在一个元素$e\in R$ 使得$ae=ea=a\ \forall a\in R$，则称环 R 为具有单位元或幺元或恒等元的环。设 R 为具有单位元 e 的环。如果存在一个元素$b\in R$ 使得$ab=ba=e$，则称元素$a\in R$ 为可逆元。如果 n 是一个正整数，a 是环 R 中的一个元素，则我们定义$a^{n}=\underbrace {aa\cdots a} _{n\ times}$ 和$na=\underbrace {a+a\cdots +a} _{n\ times}$。

例子

最重要的环之一是整数环$\mathbb {Z}$，其中通常的加法和乘法分别扮演着 + 和 . 的角色。它是一个具有单位元 1 的交换环。偶数集$2\mathbb {Z} :=\{0,\pm 2,\pm 4\cdots \}$ 是一个没有单位元的环的例子。与$\mathbb {Z}$ 一样，有理数集$\mathbb {Q}$、实数集$\mathbb {R}$ 和复数集$\mathbb {C}$ 也是具有单位元的环。然而$\mathbb {N}$ 不是环。

高斯整数环由集合 $\mathbb {Z} [i]=\{m+ni:m,n\in \mathbb {Z} \}$ 给出，其中复数的通常加法和乘法是运算。这里 i 代表 (0,1)，如复平面上通常所见。

所有具有实数项的 n 乘 n 矩阵的集合，在矩阵的通常加法和乘法下，是一个具有单位元的非交换环的例子。

模 n 的整数环

现在我们稍微偏离一下，讨论一种特殊的等价关系，它会产生一类重要的有限环。

令 n 为一个正整数。如果两个整数 *a* 和 *b* 的差 *a* − *b* 是 n 的整数倍，则称它们在模 *n* 下同余。

$a\equiv b{\pmod {n}}.\,$

上述数学表达式读作："*a* 在模 *n* 下同余于 *b*"。

例如，

$38\equiv 14{\pmod {12}}\,$

因为 38 − 14 = 24，它是 12 的倍数。对于正数 *n* 和非负数 *a* 和 *b*，*a* 和 *b* 的同余也可以理解为断言这两个数在除以模数 *n* 后具有相同的余数。所以，

$38\equiv 2{\pmod {12}}\,$

因为这两个数在除以 12 后具有相同的余数 (2)。等效地，用 12 对这两个数进行完整除法的分数部分是相同的：.1666... (38/12 = 3.166..., 2/12 = .1666...). 从先前的定义中，我们也看到它们的差，a - b = 36，是 12 的整数倍 (n = 12，36/12 = 3)。

对于 *a* 的负值，也适用相同的规则

$-3\equiv 2{\pmod {5}}.\,$

使这种关系成为同余关系（尊重加法、减法和乘法）的性质如下。

如果 $a_{1}\equiv b_{1}{\pmod {n}}$ 并且 $a_{2}\equiv b_{2}{\pmod {n}}$，则

• $(a_{1}+a_{2})\equiv (b_{1}+b_{2}){\pmod {n}}\,$
• $(a_{1}-a_{2})\equiv (b_{1}-b_{2}){\pmod {n}}\,$
• $(a_{1}a_{2})\equiv (b_{1}b_{2}){\pmod {n}}.\,$

与任何同余关系一样，模n同余是一个等价关系，整数a的等价类，记为${\overline {a}}_{n}$，是集合$\left\{\ldots ,a-2n,a-n,a,a+n,a+2n,\ldots \right\}$。这个集合，由模n与a同余的所有整数组成，被称为a模n的同余类或剩余类。该同余类的另一种表示方法，要求在上下文中已知模，为$\displaystyle [a]$。

模n的同余类集合记为$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$（或者，$\mathbb {Z} /n$或$\mathbb {Z} _{n}$），定义为

$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\left\{{\overline {a}}_{n}|a\in \mathbb {Z} \right\}.$

当n ≠ 0时，$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$有n个元素，可以写成

$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\left\{{\overline {0}}_{n},{\overline {1}}_{n},{\overline {2}}_{n},\ldots ,{\overline {n-1}}_{n}\right\}.$

我们可以根据以下规则定义$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$上的加法、减法和乘法

• ${\overline {a}}_{n}+{\overline {b}}_{n}={\overline {a+b}}_{n}$
• ${\overline {a}}_{n}-{\overline {b}}_{n}={\overline {a-b}}_{n}$
• ${\overline {a}}_{n}{\overline {b}}_{n}={\overline {ab}}_{n}.$

验证这是一个正确的定义使用了之前给出的性质。

这样，$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ 就变成了一个交换环。例如，在环 $\mathbb {Z} /24\mathbb {Z}$ 中，我们有

${\overline {12}}_{24}+{\overline {21}}_{24}={\overline {9}}_{24}$

就像 24 小时制中的算术一样。