环论/子环

定义 1：设 (R,+,.) 为一个环。R 的非空子集 S 称为 R 的子环，如果 (S,+,.) 是一个环。

例如，集合 $m\mathbb {Z}$ 代表 $\{0,\pm m,\pm 2m\cdots \}$ 是整数环的子环，高斯整数集 $\mathbb {Z} [i]$ 是 $\mathbb {C}$ 的子环，集合 $\mathbb {Z} _{4}$ 在模 4 加法和乘法下具有集合 $\{{\overline {0}},{\overline {2}}\}$ 作为子环。

定理 1.15：环 R 的非空子集 S 是 R 的子环当且仅当 (i)$a-b\in S$ 且 (ii)$ab\in S\forall a,b\in S$。

证明：证明是关于群的类似定理的一个基本推论。显然必要性是清楚的。为了充分性，注意 0=a-a 在 S 中，-a=0-a 在 S 中，a+b=a-(-b) 也在 S 中。环的其他性质也随之而来。 $\Box$

定理 1.16：环 R 的两个子环的交集是 R 的子环。

证明：设 S₁ 和 S₂ 是两个子环，且 $a,b\in S_{1}\cap S_{2}$。那么 $a-b,ab\in S_{1}\cap S_{2}$，因为它们也属于 S₁ 和 S₂。（注意交集是非空的，因为它一定包含 0）。然后，结果根据前面的定理成立。$\Box$

注意，关于并集的相应结果可能不成立。例如，$2\mathbb {Z}$ 和 $3\mathbb {Z}$ 的并集包含 3 和 2，但不包含它们的差 1，因此不是 $\mathbb {Z}$ 的子环。

定义 2：环 R 的中心定义为集合 $Z(R)=\{a\in R:xa=ax\forall x\in R\}$。

定理 1.17：环 R 的中心是 R 的子环。

证明：显然，如果 a 和 b 是中心中的两个元素，则对于 R 中的任何 x，x(a-b)=xa-xb=ax-bx=(a-b)x 以及 x(ab)=xab=axb=abx=(ab)x，因此 a-b 和 ab 都在中心中。现在根据定理 1.15，结果成立。$\Box$

定理 1.18：除环的中心是一个域。

证明：如果 R 是一个除环，则它的中心包含单位元 1，因为 x1=1x=x 对所有 x 成立。另外，如果 a 在中心中，并且 ab=ba=1，则对于任何 x，xb=x1b=xabb=axbb，因此 x=axb。现在 bx=baxb=1xb=xb，因此 b 也在中心中。因此，每个元素的逆也都在中心中。最后要注意，这些元素彼此之间是可交换的，因为它们与 R 的所有其他元素可交换。$\Box$。由于 R 是一个除环，因此域的其他属性也随之成立。

更多属性

这些问题应该首先由读者作为练习尝试。

定理 1.19：如果 a 是环 R 中的固定元素，则证明 $I_{a}=\{x\in R:ax=0\}$ 是 R 的子环。

证明：显然，如果 x，y 是 R 中的两个元素，则 a(x-y)=ax-ay=0-0=0 以及 a(xy)=axy=0y=0，因此 I_a 是一个子环。$\Box$

定理 1.20：如果 A 和 B 是环 R 的两个子环，则它们的和定义为集合 $A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}$。证明两个子环的和不一定是子环。

证明：考虑一个环 M₂，它由所有元素属于整数的 2x2 矩阵组成。(检查这个是否是一个环)。很容易验证集合 $S=\{{\bigl (}{\begin{smallmatrix}a&0\\b&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}:a,b\in \mathbb {Z} \},T=\{{\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&c\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}:c\in \mathbb {Z} \}$ 是 M₂ 的子环。但是他们的和包含矩阵 ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&1\\1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}$ 和 ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}2&2\\2&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}$ 不包含它们的乘积，即 ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}4&2\\2&2\end{smallmatrix}}{\bigr )}$。因此两个子环的和不一定是子环。 $\Box$.

定理 1.21：如果 x²=x，则元素 $x\in R$ 称为幂等元素。设 e 是环 R 中的一个幂等元素。证明 $eRe=\{eae:a\in R\}$ 是 R 的一个具有单位元 e 的子环。

证明：显然如果 x,y 属于 eRe 那么 x=eae 且 y=ebe 对于某些 a,b 属于 R。那么 x-y=eae-ebe=e(a-b)e 所以 x-y 属于 eRe。同样 xy=eaeebe=eaebe=e(aeb)e 所以 xy 属于 eRe。因此 eRe 是一个子环。最后注意到 xe=eaee=eae=x 且 ex=eeae=eae=x 所以 e 是 eRe 的单位元。 $\Box$.

练习

1. 证明环 R 中元素 a 的标准化子 N(a) 由 $N(a)=\{x\in R:xa=ax\}$ 定义，是 R 的一个子环。

2. 如果 (S,+,.) 是一个域，则域 (F,+,.) 的非空子集 S 被称为 F 的子域。证明域 F 的子集 S（包含至少两个元素）是 F 的一个子域当且仅当 (i)$a-b\in S\forall a,b\in S$ 以及 (ii)$ab^{-1}\in S\forall a\in S,b(\neq 0)\in S$.