一种流行且 **最小** 的表示姿态时间导数的方法是 **螺旋**。螺旋由两个 3 × 1 向量组成:
和
,其中
是运动刚体(机械臂连杆)的角速度,而
是运动刚体上与参考系原点瞬时重合的点的线速度。
相对于同一坐标系表示的旋转速度可以简单地加起来。因此

连杆原点的线速度等于前一个连杆原点的线速度加上旋转分量

注意:在上式中,得到的 velocidad 是相对于当前连杆的坐标系表示的。
是从坐标系
的原点指向坐标系
的原点的向量。
双连杆平面机械臂。
从右侧的图中可以很容易地图形化推导出该机械臂的连杆变换。



这里,
和
分别是连杆 1 和 2 的长度。
注意:再次注意到使用
和
作为
和
的简写符号。
因此,根据以上方程

和

同样
![{\displaystyle _{2}v_{2}={\begin{pmatrix}c_{2}&s_{2}&0\\-s_{2}&c_{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\left[{\begin{pmatrix}0\\0\\{\dot {\theta _{1}}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}l_{1}\\0\\0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}l_{1}s_{2}{\dot {\theta _{1}}}\\l_{1}c_{2}{\dot {\theta _{1}}}\\0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0958f7f58637d3ce4893652a9037dc4c5e1a29e)
和
![{\displaystyle _{3}v_{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\left[{\begin{pmatrix}l_{1}s_{2}{\dot {\theta _{1}}}\\l_{1}c_{2}{\dot {\theta _{2}}}\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\{\dot {\theta _{1}}}+{\dot {\theta _{2}}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}l_{2}\\0\\0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}l_{1}s_{2}{\dot {\theta _{1}}}\\l_{1}c_{2}{\dot {\theta _{2}}}+l_{2}({\dot {\theta _{1}}}+{\dot {\theta _{2}}})\\0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf33ae009237d11a206a148b616c586d16333296)
相对于基座坐标系,末端执行器的速度变为

假设
个运动学(末端执行器)方程。每个方程都是
个自由度的函数

请注意,在非冗余机械手的情况下,
.
上述方程的时间导数如下所示

这可以用向量形式表示

矩阵
称为雅可比矩阵,其元素是运动学方程的偏导数。末端执行器速度与(已知)关节速度之间的关系由雅可比矩阵完全描述。末端执行器速度是关节速度的线性函数。
此示例展示了另一种解决上述问题的思路。可以使用串联机械臂位置运动学部分中介绍的技术,或通过查看上图来直观地推导出该机械臂的位置运动学方程

因此,雅可比矩阵为

因此,末端执行器速度为
![{\displaystyle {\begin{array}{ccc}{\dfrac {dx}{dt}}&=&\left[-l_{1}\sin(\theta _{1})-l_{2}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\right]{\dfrac {d\theta _{1}}{dt}}-l_{2}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}){\dfrac {d\theta _{2}}{dt}}\\{\dfrac {dy}{dt}}&=&\left[l_{1}\cos(\theta _{1})+l_{2}\cos(\theta _{1}+\theta _{2})\right]{\dfrac {d\theta _{1}}{dt}}+l_{2}\cos(\theta _{1}+\theta _{2}){\dfrac {d\theta _{2}}{dt}}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c71cfcfd7f6098037d1de77c13c5e39554aa662)
需要注意的是,末端执行器的角速度当然是关节速度之和。另一种得到完全相同结果的方法是明确地包含角速度方程,然后相应地计算雅可比矩阵。正如预期,这个结果与上面例子中使用连杆变换矩阵得到的结果相同。
这个问题可以通过对雅可比矩阵求逆来轻松解决...
如果雅可比矩阵
可逆,则可以对其求逆来轻松计算关节速度,前提是给定(笛卡尔)末端执行器速度。雅可比矩阵不可逆的位置(
的组合)被称为**奇异点**。将
的行列式设为零,并求解
可以找到这些奇异点。这些位置对应于**自由度的丧失**。