机器人运动学和动力学/串联机械臂微分运动学

螺旋

一种流行且 **最小** 的表示姿态时间导数的方法是 **螺旋**。螺旋由两个 3 × 1 向量组成：$\omega$ 和 $v$，其中 $\omega$ 是运动刚体（机械臂连杆）的角速度，而 $v$ 是运动刚体上与参考系原点瞬时重合的点的线速度。

$t=\left({\begin{array}{c}\omega \\v\end{array}}\right)$

速度传播

相对于同一坐标系表示的旋转速度可以简单地加起来。因此

$_{i+1}\omega _{i+1}=\,_{i+1}^{i}R\,_{i}\omega _{i}+{\begin{pmatrix}0\\0\\{\dot {\theta }}_{i+1}\end{pmatrix}}$

连杆原点的线速度等于前一个连杆原点的线速度加上旋转分量

$_{i+1}v_{i+1}=\,_{i+1}^{i}R\left(_{i}v_{i}+_{i}\omega _{i}\times \,_{i}P_{i+1}\right)$

注意：在上式中，得到的 velocidad 是相对于当前连杆的坐标系表示的。 $_{i}P_{i+1}$ 是从坐标系 ${i}$ 的原点指向坐标系 ${i+1}$ 的原点的向量。

示例：双连杆平面机械臂

双连杆平面机械臂。

从右侧的图中可以很容易地图形化推导出该机械臂的连杆变换。

$_{0}^{1}T={\begin{pmatrix}c_{1}&-s_{1}&0&0\\s_{1}&c_{1}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$

$_{1}^{2}T={\begin{pmatrix}c_{2}&-s_{2}&0&l_{1}\\s_{2}&c_{2}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$

$_{2}^{3}T={\begin{pmatrix}1&0&0&l_{2}\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}$

这里，$l_{1}$ 和 $l_{2}$ 分别是连杆 1 和 2 的长度。

注意：再次注意到使用 $s_{i}$ 和 $c_{i}$ 作为 $sin(\theta _{i})$ 和 $cos(\theta _{i})$ 的简写符号。

因此，根据以上方程

$_{2}\omega _{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\{\dot {\theta _{1}}}+{\dot {\theta _{2}}}\end{pmatrix}}$

和

$_{3}\omega _{3}=_{2}\omega _{2}$

同样

$_{2}v_{2}={\begin{pmatrix}c_{2}&s_{2}&0\\-s_{2}&c_{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\left[{\begin{pmatrix}0\\0\\{\dot {\theta _{1}}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}l_{1}\\0\\0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}l_{1}s_{2}{\dot {\theta _{1}}}\\l_{1}c_{2}{\dot {\theta _{1}}}\\0\end{pmatrix}}$

和

$_{3}v_{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\left[{\begin{pmatrix}l_{1}s_{2}{\dot {\theta _{1}}}\\l_{1}c_{2}{\dot {\theta _{2}}}\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\{\dot {\theta _{1}}}+{\dot {\theta _{2}}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}l_{2}\\0\\0\end{pmatrix}}\right]={\begin{pmatrix}l_{1}s_{2}{\dot {\theta _{1}}}\\l_{1}c_{2}{\dot {\theta _{2}}}+l_{2}({\dot {\theta _{1}}}+{\dot {\theta _{2}}})\\0\end{pmatrix}}$

相对于基座坐标系，末端执行器的速度变为

$_{0}v_{3}=\,_{0}^{3}R\,_{3}v_{3}=\,_{0}^{1}R\,_{1}^{2}R\,_{2}^{3}R\,_{3}v_{3}={\begin{pmatrix}-l_{1}s_{1}{\dot {\theta _{1}}}-l_{2}s_{12}({\dot {\theta _{1}}}+{\dot {\theta _{2}}})\\l_{1}c_{1}{\dot {\theta _{1}}}-l_{2}c_{12}({\dot {\theta _{1}}}+{\dot {\theta _{2}}})\\0\end{pmatrix}}$

雅可比矩阵

假设 $m$ 个运动学（末端执行器）方程。每个方程都是 $n$ 个自由度的函数

${\begin{array}{ccc}x_{1}&=&x_{1}(\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})\\\vdots &&\vdots \\x_{m}&=&x_{m}(\theta _{1},\ldots ,\theta _{n})\\\end{array}}$

请注意，在非冗余机械手的情况下，$m=n$.

上述方程的时间导数如下所示

${\begin{array}{ccc}{\dfrac {dx_{1}}{dt}}&=&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial \theta _{1}}}{\dfrac {d\theta _{1}}{dt}}+\cdots +{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial \theta _{n}}}{\dfrac {d\theta _{n}}{dt}}\\\vdots &&\vdots \\{\dfrac {dx_{m}}{dt}}&=&{\dfrac {\partial x_{m}}{\partial \theta _{1}}}{\dfrac {d\theta _{1}}{dt}}+\cdots +{\dfrac {\partial x_{m}}{\partial \theta _{n}}}{\dfrac {d\theta _{n}}{dt}}\end{array}}$

这可以用向量形式表示

$v=J{\frac {d\theta }{dt}}$

矩阵 $J$ 称为雅可比矩阵，其元素是运动学方程的偏导数。末端执行器速度与（已知）关节速度之间的关系由雅可比矩阵完全描述。末端执行器速度是关节速度的线性函数。

$J={\begin{pmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial \theta _{1}}}&\cdots &{\frac {\partial x_{1}}{\partial \theta _{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial x_{m}}{\partial \theta _{1}}}&\cdots &{\frac {\partial x_{m}}{\partial \theta _{n}}}\end{pmatrix}}$

示例：双连杆平面机械臂

此示例展示了另一种解决上述问题的思路。可以使用串联机械臂位置运动学部分中介绍的技术，或通过查看上图来直观地推导出该机械臂的位置运动学方程

${\begin{array}{l}x=l_{1}\cos(\theta _{1})+l_{2}\cos(\theta _{1}+\theta _{2})\\y=l_{1}\sin(\theta _{1})+l_{2}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\end{array}}$

因此，雅可比矩阵为

$J={\begin{pmatrix}-l_{1}\sin(\theta _{1})-l_{2}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})&-l_{2}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\\l_{1}\cos(\theta _{1})+l_{2}\cos(\theta _{1}+\theta _{2})&l_{2}\cos(\theta _{1}+\theta _{2})\\\end{pmatrix}}$

因此，末端执行器速度为

${\begin{array}{ccc}{\dfrac {dx}{dt}}&=&\left[-l_{1}\sin(\theta _{1})-l_{2}\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\right]{\dfrac {d\theta _{1}}{dt}}-l_{2}\sin(\theta _{1}+\theta _{2}){\dfrac {d\theta _{2}}{dt}}\\{\dfrac {dy}{dt}}&=&\left[l_{1}\cos(\theta _{1})+l_{2}\cos(\theta _{1}+\theta _{2})\right]{\dfrac {d\theta _{1}}{dt}}+l_{2}\cos(\theta _{1}+\theta _{2}){\dfrac {d\theta _{2}}{dt}}\\\end{array}}$

需要注意的是，末端执行器的角速度当然是关节速度之和。另一种得到完全相同结果的方法是明确地包含角速度方程，然后相应地计算雅可比矩阵。正如预期，这个结果与上面例子中使用连杆变换矩阵得到的结果相同。

逆速度运动学

这个问题可以通过对雅可比矩阵求逆来轻松解决...

奇异点

如果雅可比矩阵$J$ 可逆，则可以对其求逆来轻松计算关节速度，前提是给定（笛卡尔）末端执行器速度。雅可比矩阵不可逆的位置（$\theta _{i}$ 的组合）被称为**奇异点**。将 $J$ 的行列式设为零，并求解 $\theta$ 可以找到这些奇异点。这些位置对应于**自由度的丧失**。