机器人运动学与动力学/串联机械手动力学

刚体加速度

线性加速度和角加速度是在任何时刻的线性速度和角速度向量的导数

$_{a}{\dot {v}}={\dfrac {d\,_{a}v}{dt}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\dfrac {_{a}v(t+\Delta t)-\,_{a}v(t)}{\Delta t}}$,

和

$_{a}{\dot {\omega }}={\dfrac {d\,_{a}\omega }{dt}}=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\dfrac {_{a}\omega (t+\Delta t)-\,_{a}\omega (t)}{\Delta t}}$

从参考系 $\{a\}$ 观察，向量 $q$ 相对于参考系 $\{b\}$ 的线性速度，该参考系的原点与 $\{a\}$ 重合，由下式给出

$_{a}v_{q}=\,_{a}^{b}R\,_{b}v_{q}+\,_{a}\omega _{b}\times \,_{a}^{b}R\,_{b}q$

对上述表达式求导，可以得到向量 $q$ 的加速度

$_{a}{\dot {v}}_{q}={\dfrac {d}{dt}}\,_{a}^{b}R\,_{b}v_{q}+\,_{a}{\dot {\omega }}_{b}\times \,_{a}^{b}R\,_{b}q+\,_{a}\omega _{b}\times {\dfrac {d}{dt}}\,_{a}^{b}R\,_{b}q$

线性速度的公式也可以写成

$_{a}v_{q}={\dfrac {d}{dt}}\,_{a}^{b}R\,_{b}q=\,_{a}^{b}R\,_{b}v_{q}+\,_{a}\omega _{b}\times \,_{a}^{b}R\,_{b}q$

将此结果应用于加速度，得到

$_{a}{\dot {v}}_{q}=_{a}^{b}R\,_{b}{\dot {v}}_{q}+\,_{a}\omega _{b}\times \,_{a}^{b}R\,_{b}v_{q}+\,_{a}{\dot {\omega }}_{b}\times \,_{a}^{b}R\,_{b}q+\,_{a}\omega _{b}\times \left(^{b}_{a}R\,_{b}v_{q}+\,_{a}\omega _{b}\times \,_{a}^{b}R\,_{b}q\right)$

如果 $\{a\}$ 和 $\{b\}$ 的原点不重合，则需要添加 $\{b\}$ 相对于 $\{a\}$ 的线性加速度项

$_{a}{\dot {v}}_{q}=\,_{a}{\dot {v}}_{b,org}+\,_{a}^{b}R\,_{b}{\dot {v}}_{q}+\,_{a}\omega _{b}\times \,_{a}^{b}R\,_{b}v_{q}+\,_{a}{\dot {\omega }}_{b}\times \,_{a}^{b}R\,_{b}q+\,_{a}\omega _{b}\times \left(^{b}_{a}R\,_{b}v_{q}+\,_{a}\omega _{b}\times \,_{a}^{b}R\,_{b}q\right)$

对于旋转关节，$_{b}q$ 是常数，上述表达式简化为

$_{a}{\dot {v}}_{q}=\,_{a}{\dot {v}}_{b,org}+\,_{a}{\dot {\omega }}_{b}\times \,_{a}^{b}R\,_{b}q+\,_{a}\omega _{b}\times \left(_{a}\omega _{b}\times \,_{a}^{b}R\,_{b}q\right)$

一个坐标系 $\{c\}$ 相对于坐标系 $\{b\}$ 旋转，而坐标系 $\{b\}$ 本身相对于参考坐标系 $\{a\}$ 旋转，其相对于 $\{a\}$ 的角速度为

$_{a}\omega _{c}=\,_{a}\omega _{b}+\,_{a}^{b}R\,_{b}\omega _{c}$

对上述公式求导得到

$_{a}{\dot {\omega }}_{c}=\,_{a}{\dot {\omega }}_{b}+{\dfrac {d}{dt}}\,_{a}^{b}R\,_{b}\omega _{c}$

将最后一项替换为之前推导出的表达式之一

$_{a}{\dot {\omega }}_{c}=\,_{a}{\dot {\omega }}_{b}+\,_{a}\omega _{b}\times \,_{a}^{b}R\,_{b}\omega _{c}$

惯性张量

惯性张量可以被认为是标量惯性矩的推广

$_{a}I={\begin{pmatrix}I_{xx}&-I_{xy}&-I_{xz}\\I_{xy}&I_{yy}&-I_{yz}\\I_{xz}&-I_{yz}&I_{zz}\\\end{pmatrix}}$

牛顿和欧拉方程

作用在刚体质心上的力 $F$，作用在总质量为 $m$ 的刚体上，导致加速度为 ${\dot {v}}_{com}$，等于

$F=m{\dot {v}}_{com}$

类似地，导致角加速度 ${\dot {\omega }}$ 的力矩 $N$ 由以下公式给出：

$N=\,_{c}I{\dot {\omega }}+\omega \times \,_{c}I\omega$,

其中 $_{c}I$ 是惯性张量，在原点与刚体质心重合的坐标系 $\{c\}$ 中表示。