机器人运动学与动力学/串联机械手静力学

力与力矩的传递

本节讨论如何求解串联机械手的关节力矩，以保持其平衡。这需要为每个连杆写下力和力矩方程。

作用在单个机械手连杆上的力和力矩。

对于连杆 $i$，如右图所示，这将导致

这里，

$_{i}f_{i}-_{i}f_{i+1}=0\,$

和

$_{i}n_{i}-\,_{i}n_{i+1}-\,_{i}P_{i+1}\times \,_{i+1}f_{i+1}=0$

在这个最后一个方程中，$P_{i+1}$ 是指向从坐标系 ${i}$ 的原点到坐标系 ${i+1}$ 的原点的向量。

上述也可以写成

$_{i}f_{i}=\,_{i}^{i+1}R\,\,_{i+1}f_{i+1}$

和

$_{i}n_{i}=\,_{i}^{i+1}R\,\,_{i+1}n_{i+1}+\,_{i}P_{i+1}\times \,_{i+1}f_{i+1}$

上述公式构成了力从一个连杆到另一个连杆的静态传递的表达式。为了使系统处于平衡状态，$n_{i}$ 沿 Z 轴 $(0,0,{\hat {k}}_{i})$ 的分量必须等于关节力矩 $\tau$。因此，关节力矩的表达式为

$\tau _{i}=\,_{i}n_{i}^{T}\,_{i}{\hat {k}}_{i}$

示例：双连杆平面机械手

双连杆平面机械手。

假设一个力向量 $(F_{x},F_{y})$ 应用于右侧机械手的末端执行器。关节扭矩如果增加关节角则为正，否则为负。应用上述方程得到

$_{2}F_{2}={\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\0\end{pmatrix}}$

$_{2}n_{2}=L_{2}{\hat {i}}_{2}\times {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\L_{2}F_{y}\end{pmatrix}}$

$_{1}F_{1}={\begin{pmatrix}c_{2}&-s_{2}&0\\s_{2}&c_{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{2}F_{x}-s_{2}F_{y}\\s_{2}F_{x}+c_{2}F_{y}\\0\end{pmatrix}}$

$_{1}n_{1}={\begin{pmatrix}c_{1}&-s_{1}&0\\s_{1}&c_{1}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\L_{2}F_{y}\end{pmatrix}}+L_{1}{\hat {i}}_{1}\times \,_{1}F_{1}={\begin{pmatrix}0\\0\\L_{1}s_{2}F_{x}+(L_{1}c_{2}+L_{2})F_{y}\end{pmatrix}}$

因此，系统处于平衡状态所需的关节扭矩为

${\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}L_{1}s_{2}&L_{1}c_{2}+L_{2}\\0&L_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\end{pmatrix}}$

虚功和雅可比矩阵

一般来说，功是力或力矩与位移或角位移的点积。根据虚功原理，让这些位移变得无穷小

$F\cdot \delta x=\tau \cdot \delta \theta$,

其中等式左侧表示笛卡尔坐标系下末端执行器工作空间的虚功，右侧对应于关节位移的虚功。当然，它们两者必须相同。

相同的表达式也可以写成

$F^{T}\delta x=\tau ^{T}\delta \theta$

由于雅可比矩阵的定义是 $\delta x=J\delta \theta$，上述方程变为

$F^{T}J\delta \theta =\tau ^{T}\delta \theta$

这对于所有 $\delta \theta$ 必须成立，所以

$F^{T}J=\tau ^{T}$,

或者

$\tau =J^{T}F$

在关于二连杆平面机械臂的上述例子中，矩阵确实是雅可比矩阵的转置，相对于坐标系 $\{3\}$ 表示。相对于基坐标系 $\{0\}$，以下表达式有效

$\tau =\,_{0}J^{T}\,_{0}F$