动态因果模型 - 参数单位

一般来说，DCM 中的耦合参数（矩阵 A、B、C）的单位为赫兹。它们是速率常数，定义了区域内或区域之间的变化速率。但是，某些参数是 log 缩放参数 - 这指的是用于强制这些参数取正值或负值的转换。

速率常数的概念在自连接中最为容易说明 - 矩阵 A 的对角线条目。

自连接

想象一个具有单个抑制性自连接的单区域 DCM（即矩阵 A 中的单个值）。该区域的活动水平（其状态）表示为 $z$ 。该系统可以建模为一阶线性微分方程

${\begin{aligned}{\dfrac {dz}{dt}}&=az\\z(t)&=z_{0}\cdot e^{-at}\\\end{aligned}}$

参数 $a$ 控制着该区域的衰减速率。要了解原因，我们可以考虑系统的半衰期。

与半衰期关系

半衰期 $\tau$ 是示例区域中的活动下降到其起始水平的一半的时间。从上面的定义中，我们知道可以计算时间 $\tau$ 的活动

${\begin{aligned}z(\tau )&=0.5z_{0}\\&=z_{0}\cdot e^{-a\tau }\end{aligned}}$

我们可以重新排列此表达式以找到 $\tau$ 和 $a$ 的值

${\begin{aligned}e^{-a\tau }&={\dfrac {0.5z_{0}}{z_{0}}}\\&=0.5\\\\-a\tau &=ln(0.5)\\&=ln(1)-ln(2)\\&=0-ln(2)\\&=-ln(2)\\\\\tau &={\dfrac {-ln(2)}{-a}}\\&={\dfrac {ln(2)}{a}}\\\\a&={\dfrac {ln(2)}{\tau }}\end{aligned}}$

因此， $a$ 与半衰期 $\tau$ 成反比。 $-a$ 的值越负，该区域的活动衰减越快。

限制符号

有时我们需要强制耦合参数的符号为正或负。例如，我们将每个区域的自连接 $-A$ 限制为负数，以确保其衰减并使系统达到稳定状态。另一个例子是双状态 DCM，它明确地表示特定连接是兴奋性的还是抑制性的。通常，所采用的方法是将参数视为耦合强度的对数，而不是耦合强度本身。然后在模型的代码中，它的值在使用之前被指数化，并且可以被设置为正数

a = exp(A);

或负数

a = -exp(A);

因此，在解释结果时，重要的是要知道哪些参数是简单的耦合强度，哪些参数是对数参数。这取决于您使用哪个 DCM 模型，下面将列出这些模型。

特定模型

用于 fMRI 的单状态 DCM

这是用于 fMRI 的标准或“原始” DCM。A、B、C 和 D 矩阵中的所有连接都是以 Hz 为单位的耦合参数，除了 A 矩阵上的自连接，它们是对数缩放参数。这里有两个目的：一是强制这些连接始终为负数，二是当 A 矩阵中的值为零时，将默认强度设置为 -0.5Hz。

为了实现这一点，A 矩阵中的自连接值在模型中经历以下变换

$a=-{\frac {e^{A}}{2}}$

其中 $A$ 是出现在 A 矩阵中的值， $a$ 是模型中使用的值。

用于 fMRI 的双状态 DCM

在这个模型中，A 和 B 矩阵（但不是 C 矩阵）中的所有值都是对数缩放参数。