SPM/DCM 方程. 2. 动态系统

什么是动态方程？

要理解 DCM，你需要了解什么是动态方程。这非常简单。动态方程描述了过程（系统）如何随时间或空间变化。

以下是一些例子——一个来自现实世界，另一个来自数学世界。（后者更令人兴奋。）

示例 1：假设银行给你 3% 的储蓄利息。现在是零年年底，你极度成功的生意让你赚了 50 英镑。明年你会拥有多少？我们可以用动态方程算出答案

$x(1)=1.03*x(0)\,$

或者更普遍地

$x(t)=1.03*x(t-1)\,$

其中 $t$ 是时间， $x$ 是你的银行余额。你可以一遍又一遍地应用这个方程，以了解你的银行余额将如何发展。实际上，你可能知道有一个一次性方程可以计算任何年份的复利，但这个例子要说明的是，状态方程是一个简单的规则，它描述了系统（你的银行账户）如何随时间变化。

示例 2：动态方程可以表示系统如何在空间而不是时间上变化。看看这三个方程，它们描述了三个数字的变化率

{\begin{array}{lcl}{\dfrac {dx}{dt}}&=&\sigma (y-x)\\\\{\dfrac {dy}{dt}}&=&x(\rho -z)-y\\\\{\dfrac {dz}{dt}}&=&xy-\beta z\end{array}}\,

这些方程给出了变量 $x$ 、 $y$ 和 $z$ 随时间变化的速率，而 $\sigma$ 、 $\rho$ 和 $\beta$ 是预先选择的数字——它们是系统的参数，用于微调它。不用担心它们的意思。

这些方程共同构成了洛伦兹吸引子，如果你把它们绘制在图表上，你会得到一些不仅对混沌理论至关重要，而且非常漂亮的东西

因此，我们看到，将一个简短的动态方程反复应用于其自身的输出，可以描述系统随时间或空间的变化。正如我们将在下一节中探讨的那样，这样的方程构成了动态因果建模的基础。