SPM/DCM 方程。3. 网络和矩阵
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使用动态方程来研究网络在许多领域中很常见 - 从工程、互联网搜索引擎到神经科学。对于 DCM，我们需要对大脑区域相互交流时发生的情况进行建模。我们将从了解如何用数字表示网络开始，然后逐步演示线性动态方程如何描述网络活动随时间的变化。
网络或图是一个由带有箭头的线连接起来的节点集合。在 DCM 中，这些节点代表大脑区域，两个节点之间的箭头表示一个区域会导致另一个区域活动的变化。
这是一个示例网络，以及下方用连接矩阵表示的相同网络。
![{\displaystyle A=\left[{\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&0\\0&1&0\\\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cb961a4558a63e2393873115e397532f10f51b5)
在网络的矩阵表示中，每一列代表来自大脑区域的连接，每一行代表进入大脑区域的连接。1 代表存在连接，0 代表不存在连接。
例如，要确定区域 2 是否连接到区域 3，我们需要查看矩阵的第二列和第三行中的数字。在这里我们找到数字 1，表示区域 2 到 3 存在连接，我们可以通过查看上面的图表来确认这一点。
将网络表示为矩阵使我们能够非常简单地询问有关网络的问题。
假设上面的网络代表三个大脑区域，我们对区域 1 应用一些外部输入。会发生什么？活动将如何通过网络传播？
我们需要一个模型，以动态方程的形式，来告诉我们网络的行为。我们的简单模型将只包含两件事
- 记录哪个大脑区域连接到哪个其他区域。我们将使用上面的 A 矩阵用数字表示这一点。
- 每个区域的输出。我们将将其存储在一个称为 z 的列向量中。
该模型描述了 z（每个区域的输出）如何从时间 t 变化到时间 t+1
很简单！因此在这个模型中，我们只需要将 A 矩阵乘以每个区域的输出，我们就能得到每个区域的新输出。让我们试试吧。
我们从只有区域 1 产生活动开始，这是由于我们对其进行的某种刺激。其他两个区域保持沉默。我们用列向量 z 表示这一点
![{\displaystyle z(t)=\left[{\begin{array}{c}1\\0\\0\\\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed1ac1044fda2201099e41cf34c983a609ed7f6b)
现在让我们将我们的动态方程应用于 z，看看会发生什么。
迭代 1
![{\displaystyle z(t+1)=Az(t)=\left[{\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&0\\0&1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}1\\0\\0\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\1\\0\\\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8584d3f3d01e31e8cc7838ad696e47d0d8aba34d)
因此，我们从只有第一个区域，区域 1，具有活动开始。现在，我们的新 z 向量表明只有区域 2 是活动的。回顾图表，这说得通 - 外部输入激活了区域 1，进而激活了区域 2。我们取我们的新 z 向量并重复此过程。
迭代 2
![{\displaystyle z(t+1)=Az(t)=\left[{\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&0\\0&1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}0\\1\\0\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}1\\0\\1\\\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c4278e03139f262edfef68c9f0ac3977d04f656)
区域 2 已激活区域 1 和 3。我们现在将该方程重新应用于更新的 z 向量。
迭代 3
![{\displaystyle z(t+1)=Az(t)=\left[{\begin{array}{ccc}0&1&0\\1&0&0\\0&1&0\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}1\\0\\1\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\1\\0\\\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/329486c60c02e60736d29497d238e1e69877f612)
现在只有区域 2 处于活动状态。系统的状态现在与我们在迭代 2 中使用的状态相同，因此我们知道继续进行是毫无意义的 - 系统将在 [1 0 1] 和 [0 1 0] 之间无限循环。
因此，该模型（如上所示为一个动态方程）告诉我们网络的活动在给定一定输入的情况下如何随时间变化。
为什么这有效
[edit | edit source]为了具体说明为什么 给我们提供了网络活动随时间变化的信息，请考虑迭代 3 结束时示例网络的活动。为什么只有区域 2 处于活动状态？
区域 2 是状态向量 z 的第二个元素，它通过将 A 矩阵的第二行（表示所有进入区域 2 的连接）乘以存储在向量 z 中的每个区域的当前输出来计算。因此，我们将进入区域 2 的所有激活相加，完整写法如下：
![{\displaystyle z_{2}(t)=A(2,:)z(t)=\left[A(2,1)*z(t)_{1}\right]+\left[A(2,2)*z(t)_{2}\right]+\left[A(2,3)*z(t)_{3}\right]=1+0+0=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736f720b55a649d5ec56e825e1ab9613d24f2ffc)
（其中冒号：表示“所有列”）
因此，总而言之，区域 2 的新输出是其输入的加权总和。
总结
[edit | edit source]我们已经了解了一个简单的动态方程如何模拟跨脑区网络的通信。我们只需要添加一些额外的细节，就可以得到动态因果模型。