SPM/DCM 方程. 4. 状态方程

我们已经看到，以下线性动态方程可以表示随着时间的推移，信息在网络中的流动

$z(t+1)=Az(t)\,$

如果我们在这个方程中添加几个项，我们可以对大脑网络的更多细节进行建模。以下是 DCM 状态方程

${\dot {z}}=(A+\sum {u_{j}B^{j}})z+Cu$

为了解释方程中的每一项，我们将考虑以下示例模型

我们有三个由灰色圆圈表示的大脑区域。每个区域都有一个特定的输出级别，表示为 $z_{1}\,$, $z_{2}\,$ 和 $z_{3}\,$。在这三个区域之间，由黑色箭头表示的固定连接，在本例中仅在一个方向上进行。通过区域 1 进入我们的系统，我们有一些视觉信息作为外部输入。此外，区域 2 和区域 3 之间的连接受到注意力的调节。这意味着注意力只有在使用这种连接时才会产生影响。

这就是上面方程如何用于描述这种大脑模型的方式。

A 和 B 矩阵

如前所述，$z\,$ 是一个列向量，表示每个大脑区域的输出。让我们从说只有第一个区域目前正在产生一些输出开始

$z=\left[{\begin{array}{c}1\\0\\0\\\end{array}}\right]$

该方程为我们提供 ${\dot {z}}$，它是一个列向量，表示 $z\,$ 相对于时间的变化率 - 即每个大脑区域输出的变化率。

如前所述，我们还有二进制连接矩阵 $A\,$，它记录了哪些区域连接到哪些其他区域。对于此示例，A 矩阵将如下所示

$A=\left[{\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\\\end{array}}\right]$

我们没有直接用向量 $z\,$ 乘以 $A\,$，就像我们以前做的那样，$A\,$ 现在首先与一个附加项求和

$A+\sum {u_{j}B^{j}}$

进入我们的网络，我们有 $j\,$ 个调节输入。这些输入会修改区域之间的连接；在我们的例子中，j = 1，即注意力。对于每个调节输入，我们都有一个 $B\,$ 矩阵，它是一个类似于 A 的二元连接矩阵，但 1 和 0 表示调节输入连接到网络的位置。每个 B 矩阵都乘以一个调节输入强度的向量，$u\,$.

在这个例子中，B 矩阵看起来像这样

$B_{1}=\left[{\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&1&0\\\end{array}}\right]$

以及输入强度向量

$u=\left[{\begin{array}{c}1\\1\end{array}}\right]$

我们假设第一个输入，$u_{1}\,$，是我们的调节输入（注意力）的强度，而第二个输入，$u_{2}\,$，是我们的外部输入（视觉）的强度。对于这个处理调节输入的部分方程，我们只使用 $u\,$ 的第一个值

$u_{1}=\left[{\begin{array}{c}1\end{array}}\right]$

让我们将我们目前讨论的每个项代入 DCM 方程

${\begin{array}{lll}{\dot {z}}&=&(A+\sum {u_{j}B^{j}})z+Cu\\\\&=&\left(\left[{\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\\\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{c}1\end{array}}\right]*\left[{\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\0&1&0\\\end{array}}\right]\right)\left[{\begin{array}{c}1\\0\\0\\\end{array}}\right]+Cu\\\\&=&\left(\left[{\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&0\\0&2&0\\\end{array}}\right]\right)\left[{\begin{array}{c}1\\0\\0\\\end{array}}\right]+Cu\\\\&=&\left[{\begin{array}{c}0\\1\\0\\\end{array}}\right]+Cu\end{array}}$

我们已经看到，固定连接 (A) 和调节连接 (B) 的组合为我们提供了一个向量 [0 1 0]，这意味着在这一步中，第二个区域的活动将增加。

现在让我们通过添加最后一项（涉及 C 矩阵）来完成对该方程式的概述。

C 矩阵

C 矩阵决定了哪个外部输入连接到哪个区域。它是一个矩阵，每行代表一个区域，每列代表向量 $u$ 中包含的每个输入。

$C=\left[{\begin{array}{ccc}0&1\\0&0\\0&0\\\end{array}}\right]$

所以这意味着只有第二个输入是外部输入，它连接到第一个区域。

现在让我们将它代入我们一直在研究的 DCM 方程。

${\begin{array}{lll}{\dot {z}}&=&\left[{\begin{array}{c}0\\1\\0\\\end{array}}\right]+Cu\\\\&=&\left[{\begin{array}{c}0\\1\\0\\\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{ccc}0&1\\0&0\\0&0\\\end{array}}\right]*\left[{\begin{array}{c}1\\1\\\end{array}}\right]\\\\&=&\left[{\begin{array}{c}1\\1\\0\\\end{array}}\right]\end{array}}$

总结

所以，在 DCM 状态方程的一次迭代之后，区域 2 是活跃的，因为它接收来自区域 1 的激活（由于 DCM 方程的第一部分），而区域 1 是活跃的，因为它接收了外部视觉输入（由于 DCM 方程的第二部分）。

呼！

这一切有什么意义？

动态因果模型告诉我们信息进入大脑网络后会如何随着时间推移而发生变化。但是，我们需要知道我们选择的 A、B 和 C 矩阵是否为我们提供了大脑活动的良好模型。为此，我们需要

• 将我们的神经模型与一个血流动力学模型结合起来，这样我们就知道如果神经模型能很好地反映现实生活，我们会在 fMRI 扫描仪中看到什么。
• 测试我们的神经模型与测量到的 fMRI 信号的匹配程度，与其他模型相比，这样我们就可以从多个模型中选择最好的模型。

接下来的页面将解释我们如何做到这一点。