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定义

子集

$A\subseteq B$

$\{x\mid x\in A{\hbox{ then }}x\in B\}$

子集意味着对于所有 x，如果 x 在 A 中，那么 x 也在 B 中。

真子集

$A\subset B$

$\{x\mid x\in A{\hbox{ then }}x\in B{\hbox{ and }}A\neq B\}$

并集

$\bigcup A$

$\{x\mid x\in \bigcup A{\hbox{ iff }}y\in A{\hbox{ s.t. }}x\in y\}$

$A\cup B$

$\{x\mid x\in A{\hbox{ or }}x\in B\}$

交集

$\bigcap A$

$\{x\mid {\hbox{for all }}a\in A,x\in a\}$

$A\cap B$

$\{x\mid x\in A{\hbox{ and }}x\in B\}$

空集

$\emptyset$

${\hbox{There is a set }}A{\hbox{ s.t. }}\{x\mid x\notin A\}$

减法

$A-B$

$\{x\mid x\in A{\hbox{ and }}x\notin B\}$

幂集

${\mathcal {P}}(A)$

$\{x\mid x\subseteq A\}$

有序对

$\langle a,b\rangle$

$\{\{a\},\{a,b\}\}$

笛卡尔积

$A\times B$

$A\times B=\{x\mid x=\langle a,b\rangle {\hbox{ for some }}a\in A{\hbox{ and some }}b\in B\}$

或

$\{\langle a,b\rangle \mid a\in A{\hbox{ and }}b\in B\}$

关系

一组有序对

定义域

$\{x\mid {\hbox{ for some }}y,\langle x,y\rangle \in R\}$

值域

$\{y\mid {\hbox{ for some }}x,\langle x,y\rangle \in R\}$

域

${\hbox{dom(}}R{\hbox{)}}\cup {\hbox{ran(}}R{\hbox{)}}$

等价关系

自反性： 在 A 上的二元关系 R 是自反的，当且仅当对于 A 中的所有 a，<a, a> 属于 R
对称性： 关系 R 是对称的，当且仅当对于所有 a，b，如果 <a, b> 属于 R，那么 <b, a> 属于 R
传递性： 关系 R 是传递的，当且仅当对于所有 a，b 和 c，如果 <a, b> 属于 R 且 <b, c> 属于 R，那么 <a, c> 属于 R

偏序关系

传递性，以及
非自反性： 对于所有 a，<a, a> 不属于 R

三等分律

以下恰好有一个成立

x < y
x = y
y < x

证明策略

如果，那么

证明如果 x 那么 y

假设 x

...

因此，y

当且仅当

证明 x 当且仅当 y

假设 x

...

因此，y

假设 y

...

因此，x

等式

证明 x = y

证明 x 是 y 的子集

并且

证明 y 是 x 的子集

不等式

证明 x != y

x = {具有 p}

y = {具有 p}

a 属于 x，但 a 不属于 y