集合论

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集合论是研究集合的学科。本质上，集合是数学对象的集合。集合论是所有数学的基础。

在朴素集合论中，存在一个公理，被称为无限制理解模式公理。它指出，存在一个集合$x$，使得一阶逻辑中的公式$\phi (y)$ 对$x$ 中的所有元素$y$ 成立，即$x=\{y\,|\,\phi (y)\}$.

1901 年，伯特兰·罗素 发现这与逻辑矛盾。这种矛盾被称为罗素悖论。罗素声称，如果这种逻辑是自洽的，那么$R=\{x\,|\,x\notin x\}$ 就是一个集合。这会导致矛盾，因为$R\in R$ 当且仅当$R\notin R$。因此，该理论被认为是不自洽的。（有趣的事实：据称策梅洛 在 1899 年发现了这种矛盾，但没有发表。）

这促使策梅洛对集合论进行公理化。这也是我们应该学习集合论的原因。

这是一本本科生教材，但也会包含一些研究生水平的主题。但总的来说，任何拥有基本数学素养的人都可以阅读本书。

目录

章节

介绍

1. 集合论的语言
2. 策梅洛-弗兰克尔 (ZF) 公理
3. 关系
4. 构造数
5. 排序
6. 佐恩引理和选择公理
7. 序数
8. 基数

附录

1. 朴素集合论
2. 集合

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链接

• Zermelo-Fraenkel 集合论
• 可数性
• 集合系统

进一步阅读

• 离散数学/集合论
• Krzysztof Ciesielski，Set Theory for the Working Mathematician (1997)
• P. R. Halmos，朴素集合论 (1974)
• Karel Hrbacek，Thomas J. Jech，Introduction to set theory (1999)
• Thomas J. Jech，Set Theory 第三版 (2006)
• Kenneth Kunen，Set Theory: an introduction to independence proofs (1980)
• Judith Roitman，Introduction to Modern Set Theory (1990)
• John H. Conway，Richard Guy The Book of Numbers - 第 10 章
• Tobias Dantzig，Joseph Mazur Number: The Language of Science