集合论/集合

集合和元素

数学上的集合被定义为不同元素的无序集合。也就是说，集合中的元素可以以任何顺序排列，重复出现的元素等同于只出现一次。

我们说一个元素是一个集合的成员。集合的元素可以是任何东西。最容易从只包含数字的元素开始。出于这个原因，本书中的大多数示例将只包含数字，但这只是一种使主题不那么抽象的技术。

术语

对于一个集合 $A$ 包含元素 $x$，以下所有说法都是同义词

$x$ 是 $A$ 的成员

$x$ 被包含在 $A$ 中

$x$ 被包含在 $A$ 中

$x$ 是集合 $A$ 的一个元素

$A$ 包含 $x$

$A$ 包括 $x$

符号

我们通过指定其成员来指定一个集合。花括号符号用于此目的。

$\{1,2,3\}$

是包含 1、2、3 作为成员的集合。或者，{母亲，这个 iPod，我的学校，木星，12} 也是一个集合。花括号符号可以扩展为通过指定集合成员资格规则来指定集合。（“|”表示“使得”）。

${\Big \{}x{\Big |}x=1{\text{ or }}x=2{\text{ or }}x=3{\Big \}}$

再次表示一个包含 1、2、3 这三个元素的集合。

${\Big \{}x{\Big |}x{\text{ is a natural number}}{\Big \}}$

表示所有自然数的集合。这种表示集合的形式可以推广为

${\Big \{}x{\Big |}P(x){\Big \}}$

where $P(x)$ is a statement about the variable $x$ . The set defined by above notation is a set of all objects $x$ such that $P(x)$ is true. **** (For a concrete example, consider $A={\Big \{}x\in \mathbb {R} :x^{2}=1{\Big \}}$ . Here the property $P$ is “$x^{2}=1$” Thus, $A$ is the set of all real numbers whose square is one.). EXPLANATION: [A set may be defined by a property. For instance, the set of all planets in the solar system, the set of all even integers, the set of all polynomials with real coefficients, and so on. For a property $P$ and an element $s$ of a set $S$ , we write $P(s)$ to indicate that $s$ has the property $P$ . Then the notation ${\Big \{}s\in S{\Big |}P(s){\Big \}}$ indicates that the set consists of all elements $s$ of $S$ having the property $P$ . The vertical bar | is commonly read as “such that,” and can be also written using a colon instead. So ${\Big \{}s\in S:P(s){\Big \}}$ is an alternative notation for ${\Big \{}s\in S|P(s){\Big \}}$ . For a concrete example, consider $A={\Big \{}x\in \mathbb {R} {\Big |}x^{2}=1{\Big \}}$. Here the property $P$ is $x^{2}=1$ . Thus, $A$ is the set of all real numbers ($x$ of $\mathbb {R}$ (i.e. 1)) whose square $(1^{2}=1)$ is one.] ***

对于集合成员，使用的是一个经过修改的 epsilon 符号。因此

$x\in A$

意味着 $x$ 是 $A$ 的一个成员。我们也可以说 $x$ 不是 $A$ 的成员 

$x\notin A$

集合的特征

一个集合是由它的成员唯一确定的。

${\begin{aligned}&{\Big \{}x{\Big |}x{\text{ is an even prime}}{\Big \}}\\&{\Big \{}x{\Big |}x{\text{ is a positive square root of }}4{\Big \}}\\&\{2\}\end{aligned}}$

此外，如果且仅当 A 的每个元素都是 B 的元素，并且 B 的每个元素都是 A 的元素，则集合 A、B 被认为是相等的。

所有上述表达式都指定了同一个集合，即使偶数素数的概念与正平方根的概念不同。重复成员在指定集合时无关紧要。表达式

${\begin{aligned}&\{1,2,3\}\\&{\Big \{}1,1,1,1,2,3{\Big \}}\\&{\Big \{}x{\Big |}x{\text{ is an even prime or }}x{\text{ is a positive square root of }}4{\text{ or }}x=1{\text{ or }}x=2{\text{ or }}x=3{\Big \}}\end{aligned}}$

都指定了相同的集合。

集合是无序的。表达式

${\begin{aligned}\{1,2,3\}\\\{3,2,1\}\\\{2,1,3\}\end{aligned}}$

都指定了相同的集合。

集合可以包含其他集合作为成员。例如，存在一个集合

${\Big \{}\{1,2\},\{2,3\},\{1,{\text{Newton}}\}{\Big \}}$

一些特殊的集合

如上所述，集合由其成员定义。然而，为了便于引用，一些集合被赋予了名称。

没有成员的集合称为空或零集合。表达式

${\begin{aligned}&\{\}\\&\varnothing \\&{\Big \{}x:x\neq x{\Big \}}\end{aligned}}$

都指定了空集。

只有单个成员的集合称为单例。只有两个成员的集合称为双例。因此 $\{1\}$ 是单例，而 $\{1,2\}$ 是双例。

子集、幂集、集合运算

子集

如果集合 $S$ 的每个成员都是集合 $A$ 的成员，则集合 $S$ 是集合 $A$ 的子集。我们使用马蹄形符号来表示子集。表达式

$\{1,2\}\subseteq \{1,2,3\}$

表示 $\{1,2\}$ 是 $\{1,2,3\}$ 的子集。空集是任何集合的子集。每个集合都是自身的子集。一个 $A$ 的 *真子集* 是 $A$ 的子集，但与 $A$ 不完全相同。表达式

$\{1,2\}\subset \{1,2,3\}$

表示 $\{1,2\}$ 是 $\{1,2,3\}$ 的真子集。

幂集

一个集合的 *幂集* 是所有子集的集合。 ${\mathcal {P}}$ 用于表示幂集。请注意，空集和集合本身是幂集的成员。

${\mathcal {P}}\{1,2,3\}={\Big \{}\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,\ 2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}{\Big \}}$

并集

两个集合 *A* 和 *B* 的 *并集*，记为 $A\cup B$，是包含 *A* 中所有成员和 *B* 中所有成员的集合（并且没有其他成员）。也就是说，

$A\cup B={\Big \{}x:x\in A{\text{ or }}x\in B{\Big \}}$

例如，

$\{1,2,3\}\cup \{2,3,4\}=\{1,2,3,4\}$

交集

两个集合$A,B$ 的交集，记作 $A\cap B$，是指包含 $A$ 和 $B$ 两个集合中所有元素的集合（且没有其他元素）。也就是说：

$A\cap B={\Big \{}x:x\in A{\text{ and }}x\in B{\Big \}}$

例如，

$\{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}$

如果两个集合的交集为空集，则这两个集合是不相交的。也就是说，如果 $A$ 和 $B$ 是不相交的集合，

$A\cap B=\varnothing$

相对补集

$A,B$ 的相对补集，记作 $B\setminus A$ （有时记作 $B-A$），是指包含所有 $B$ 中的元素，但又不包含 $A$ 中元素的集合。也就是说：

$B\setminus A={\Big \{}x:x\in B{\text{ and }}x\notin A{\Big \}}$

例如，

$\{2,3,4\}\setminus \{1,3\}=\{2,4\}$

绝对补集

如果我们定义一个全集，或者包含所有我们想要考虑的元素的集合，那么我们可以讨论一个集合的绝对补集。对于一个全集 $U$，定义 $U$ 的子集 $A$ 的绝对补集为

$U\setminus A$

集合 $A$ 的绝对补集用 $A^{C},\complement _{U}A,\complement A,{\overline {A}}$ 表示（根据 ISO 31-11 标准），如果 $U$ 是固定的。

集合运算的一些性质

并集和交集

基于前面的定义，我们可以推导出集合运算的一些有用性质。这些性质的证明留给读者作为练习。

并集和交集运算是对称的。也就是说，对于集合 $A,B$

${\begin{aligned}A\cup B=B\cup A\\A\cap B=B\cap A\end{aligned}}$

此外，它们是结合的。也就是说，对于集合 $A,B,C$

${\begin{aligned}(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)\\(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)\end{aligned}}$

此外，并集对交集进行分配，而交集对并集进行分配。也就是说，对于集合 $A,B,C$

${\begin{aligned}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{aligned}}$

德摩根定律

集合中两个重要的命题是德摩根定律。它们指出，对于集合 $A,B,C$

${\begin{aligned}A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)\\A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)\end{aligned}}$

当 $A$ 是一个包含 $B$ 和 $C$ 的全集时，德摩根定律可以更简单地表示为：

${\begin{aligned}(B\cup C)^{C}=B^{C}\cap C^{C}\\(B\cap C)^{C}=B^{C}\cup C^{C}\end{aligned}}$

集合族

一组集合通常被称为集合的族或集。通常，集合族用脚本或Fraktur字体来书写，以便于区分其他集合。对于集合族 ${\mathfrak {A}}$ ，定义集合族的并集和交集如下：

${\begin{aligned}\bigcup {\mathfrak {A}}&=\bigcup _{A\in {\mathfrak {A}}}A=\{x:x{\text{ is in some }}A\in {\mathfrak {A}}\}\\\bigcap {\mathfrak {A}}&=\bigcap _{A\in {\mathfrak {A}}}A=\{x:x{\text{ is in all }}A\in {\mathfrak {A}}\}\end{aligned}}$

对于一个集合族，如果我们从该族中选择的任意两个不同的集合都是不相交的，我们就说这个集合族是成对不相交的。