集合论/集合系统

在本章中，我们希望针对给定集合 $\Omega$，研究其幂集 ${\mathcal {P}}(\Omega )$ 的子集。我们特别关注 ${\mathcal {P}}(\Omega )$ 中在某些运算下封闭的那些子集。

定义（π-系统）:

设 $\Omega$ 为一个集合。一个$\pi$-系统是集合的集合 ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$，使得只要 $A,B\in {\mathcal {A}}$，则也有 $A\cap B\in {\mathcal {A}}$。

定义（Dynkin 系统）:

设 $\Omega$ 为一个集合。一个Dynkin 系统或 $\lambda$-系统是集合的集合 $\Sigma \subseteq \Omega$，使得以下三个公理成立

1. $\Omega \in \Sigma$
2. $A,B\in \Sigma \Rightarrow A\setminus B\in \Sigma$
3. $A_{1},A_{2},\cdots \in \Sigma \wedge A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq \cdots \Rightarrow \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in \Sigma$.

定义（σ-代数）:

设 $\Omega$ 为一个集合。在 $\Omega$ 上的 **$\sigma$-代数** 是 $\Omega$ 的子集的集合，比如 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$，使得以下公理成立

1. $\Omega \in {\mathcal {F}}$
2. $A,B\in {\mathcal {F}}\Rightarrow A\setminus B\in {\mathcal {F}}$
3. $A_{n}\in {\mathcal {F}}$ 对于所有 $n\in \mathbb {N}$ 意味着 $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {F}}$.

注意，成为 $\sigma$-代数是一个比成为 Dynkin 系统更强的要求：一个 $\sigma$-代数对所有可数交集是封闭的，而 Dynkin 系统只对可数上升链的交集是封闭的。

定义（由集合的集合生成的 σ-代数）:

设 $\Omega$ 为一个集合，设 ${\mathcal {A}}\subseteq 2^{\Omega }$。那么我们定义

$\sigma ({\mathcal {A}}):=\bigcap _{{\mathcal {B}}\supset {\mathcal {A}} \atop {\mathcal {B}}{\text{ is a }}\sigma {\text{-algebra}}}{\mathcal {B}}$.

定义（由集合的集合生成的 λ-系统）:

设 $\Omega$ 为一个集合，设 ${\mathcal {A}}\subseteq 2^{\Omega }$。那么我们定义

$\lambda ({\mathcal {A}}):=\bigcap _{{\mathcal {B}}\supset {\mathcal {A}} \atop {\mathcal {B}}{\text{ is a }}\lambda {\text{-system}}}{\mathcal {B}}$.

定理（Dynkin 的 λ-π 定理）:

设 $\Omega$ 是一个集合，且设 ${\mathcal {A}}$ 是 $\pi$-系统在 $\Omega$ 上。那么

$\sigma ({\mathcal {A}})=\lambda ({\mathcal {A}})$.

证明： 方向 “$\supseteq$" 是显然的，因此我们只需要证明 “$\supseteq$"。为此，我们证明 $\lambda ({\mathcal {A}})$ 实际上是一个 $\sigma$-代数，它包含 ${\mathcal {A}}$，使用 $\sigma ({\mathcal {A}})$ 的定义作为包含 ${\mathcal {A}}$ 的所有 $\sigma$-代数的交集。 $\Box$

练习

1. 设 $\Omega$ 为一个集合，并设 $\Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$。证明 $\Sigma$ 是 $\lambda$ 系统当且仅当
   1. $\emptyset \in \Sigma$
   2. $A,B\in \Sigma \Rightarrow A\setminus B\in \Sigma$
   3. $A_{1},A_{2},\ldots \in \Sigma \wedge A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq \cdots \Rightarrow \bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in \Sigma$.
2. 设 $\Omega$ 为一个集合，并设 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$。证明 ${\mathcal {F}}$ 是 $\sigma$ 代数当且仅当
   1. $\emptyset \in {\mathcal {F}}$
   2. $A,B\in {\mathcal {F}}\Rightarrow A\setminus B\in {\mathcal {F}}$
   3. $A_{n}\in {\mathcal {F}}$ 对于所有 $n\in \mathbb {N}$ 意味着 $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {F}}$.