集合论/策梅洛-弗兰克尔集合论

定义 (策梅洛-弗兰克尔集合论):

策梅洛-弗兰克尔集合论 (ZF 集合论) 是由以下公理给出的理论 (其中大多数是用集合论语言 ${\mathcal {L}}$ 写成的)

1. 外延公理: $\forall x,y:(x=y)\Leftrightarrow \forall z:(z\in x\Leftrightarrow z\in y)$
2. 空集: $\exists x:\forall y:(y\notin x)$
3. 配对: $\forall x:\forall y:\exists m:\forall u:(u\in m)\Leftrightarrow ((u=x)\vee (u=y))$
4. 并集: $\forall x:\exists u:\forall y:(y\in u)\Leftrightarrow (\exists z:(y\in z)\wedge (z\in x))$
5. 受限理解方案: 给定一个集合 $y$ 和一个集合论语言中的公式 $\phi (x)$。那么，我们有一个所有 $z\in y$ 的集合，使得 $\phi (z)$ 为真。我们将此写为集合 $\{z\in y\,|\,\phi (z)\}$。
6. 替换方案: 给定一个集合 $z$ 和一个集合论语言中的公式 $\phi (x,y)$，使得对于所有 $x$ 都存在唯一的 $y$ 使得 $\phi (x,y)$ 为真。那么，存在一个集合 $a$，其元素是所有这些 $y$。我们将此写为集合 $\{y\,|\,\exists x\in z:\phi (x,y)\}$。
7. 幂集：$\forall x:\exists y:\forall z:(z\in y)\Leftrightarrow (\forall a:(a\in z)\Rightarrow (a\in x))$
8. 无穷：存在一个归纳集。归纳集是指包含空集，并且如果包含$x$，则包含$x\cup \{x\}$的集合。

注意，在无穷公理中，我们提到归纳集包含‘一个’空集。我们很快就会发现，实际上存在一个唯一的空集，所以我们可以将归纳集的定义更改为包含‘唯一’空集的集合。