信号与系统/滤波器变换

归一化低通滤波器

设计滤波器时，通常的做法是先设计一个归一化低通滤波器，然后使用频谱变换将该低通滤波器变换为其他类型的滤波器（高通、带通、带阻）。

这样做的原因是，设计低通滤波器所需的数值已经得到了广泛的描述和表格化。因此，滤波器设计可以简化为从表格中查找适当的值，然后变换滤波器以满足特定需求。

低通到低通变换

将归一化低通滤波器转换为另一个低通滤波器可以设置结果滤波器的截止频率。这也称为频率缩放.

变换

拥有截止频率为 1 Hz 的归一化传递函数，可以对其进行修改以将截止频率移动到指定值$f_{c}$.

这是通过以下替换实现的

$s\to f_{c}\cdot s$

传递函数

例如，双二次传递函数

$H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {b_{2}s^{2}+b_{1}s+b_{0}}{a_{2}s^{2}+a_{1}s+a_{0}}}$

将被转换为

$H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {b_{2}f_{c}^{2}s^{2}+b_{1}f_{c}s+b_{0}}{a_{2}f_{c}^{2}s^{2}+a_{1}f_{c}s+a_{0}}}$

在传递函数中，所有系数都乘以相应的$f_{c}$ 的幂。

模拟元件值

如果滤波器由电路给出，并且其 R、L 和 C 元件值在表格中找到，则可以通过改变元件值来缩放传递函数。

电阻值将保持不变（可以进行进一步的阻抗缩放）。

电容值根据以下公式进行改变

${\frac {1}{sC}}\to {\frac {1}{sf_{c}{\frac {C}{f_{c}}}}}$

电感值根据以下公式进行改变

$sL\to sf_{c}{\frac {L}{f_{c}}}$

在电路中，所有电容和电感值都除以$f_{c}$.

低通到高通

此操作可以使用以下MATLAB 命令执行

lp2hp

将低通滤波器转换为高通滤波器是最简单的变换之一。为了转换为高通滤波器，我们将方程式中的所有 S 替换为以下内容

$S={\frac {\Omega _{p}{\hat {\Omega _{p}}}}{\hat {S}}}$

低通到带通

此操作可以使用以下MATLAB 命令执行

lp2bp

要将低通滤波器转换为带通滤波器，我们需要将 S 替换为以下内容

$S=U*I/K$

低通到带阻

此操作可以使用以下MATLAB 命令执行

lp2bs

要将低通滤波器转换为带阻滤波器，我们将所有 S 的引用替换为

$S=$