信号与系统/时域分析

在时域中分析系统可以使用许多工具，尽管其中许多工具非常复杂且涉及到很多步骤。 然而，这些工具对于线性信号和系统的研究非常宝贵，因此这里将对它们进行讲解。

线性时不变 (LTI) 系统

此页面将包含 LTI 系统的定义，并以此作为基础，在下一节中定义卷积作为 LTI 系统的输出。首先需要定义系统，并列出 LTI 属性。 然后，对于给定的输入，可以证明（在本节或下一节中）LTI 系统的输出是输入与系统脉冲响应的卷积，从而引出卷积的定义。

考虑一个系统，对于输入 x_i(t) 产生输出 y_i(t)，分别对应于 i = 1, 2。

线性

线性有两个要求。 一个函数必须同时满足这两个条件才能被称为“线性”。

1. 可加性: 输入为 $x_{3}(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)$，则输出为 $y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)$。
2. 齐次性: 输入为 $ax_{1}$，则输出为 $ay_{1}$

线性也称为“满足叠加原理”。 叠加是一个专业的术语，指的是系统具有可加性和齐次性。 线性和叠加可以互换使用，但在本书中我们将更倾向于专门使用线性这个词。

我们可以将这两个要求合并成一个方程：在一个线性系统中，输入为 $a_{1}x_{1}(t)+a_{2}x_{2}(t)$，则输出为 $a_{1}y_{1}(t)+a_{2}y_{2}(t)$。

可加性

如果输入的总和导致输出的总和，则称该系统是可加的。 为了测试可加性，我们需要创建两个任意输入，x₁(t) 和 x₂(t)。 然后我们使用这些输入来产生两个相应的输出

$y_{1}(t)=f(x_{1}(t))$

$y_{2}(t)=f(x_{2}(t))$

现在，我们需要对输入进行求和，并证明系统输出是先前输出的总和

$y_{1}(t)+y_{2}(t)=f(x_{1}(t))+f(x_{2}(t))$

如果这种最终关系 **不适用于所有可能的输入**，那么该系统 **不是可加的**。

齐次性

与可加性类似，如果缩放后的输入（乘以常数）会导致缩放后的输出，则系统是齐次的。如果我们有两个系统输入

$y_{1}(t)=f(x_{1}(t))$

$y_{2}(t)=f(x_{2}(t))$

其中

$x_{1}(t)=cx_{2}(t)$

其中 *c* 是任意常数。如果是这种情况，那么如果

$y_{1}(t)=cy_{2}(t)$

对于任何任意 *c*。

时间不变性

如果输入信号 *x(t)* 产生输出 *y(t)*，那么任何时间平移的输入 *x(t + δ)* 都会导致时间平移的输出 *y(t + δ)*。

如果系统的传递函数不是时间的函数（除了由输入和输出表示），则可以满足此属性。

示例：简单时间不变性

为了演示如何确定系统是否时间不变，请考虑以下两个系统

• 系统 A：$y(t)=t\,x(t)$
• 系统 B：$\,\!b(t)=10x(t)$

由于系统 A 明确依赖于 *t*（除了 *x(t)* 和 *y(t)*），所以它 **随时间变化**。但是，系统 B 不明确依赖于 *t*，因此它是时间不变的（假设 *x(t)* 是时间不变的）。

示例：正式证明

现在对上面系统 A 和系统 B 分别是随时间变化和时间不变的进行了更正式的证明。为了进行此证明，将使用时间不变性的第二个定义。

系统 A

从输入的时间平移开始 $x_{d}(t)=\,\!x(t+\delta )$

$y(t)=t\,x(t)$

$y_{1}(t)=t\,x_{d}(t)=t\,x(t+\delta )$

现在用 δ 描述时间平移的输出

$y(t)=t\,x(t)$

$y_{2}(t)=\,\!y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )$

显然 $y_{1}(t)\,\!\neq y_{2}(t)$，因此该系统 **不是时间不变的**。

系统 B

从输入的时间平移开始 $x_{d}(t)=\,\!x(t+\delta )$

$y(t)=10\,x(t)$

$y_{1}(t)=10\,x_{d}(t)=10\,x(t+\delta )$

现在将输出时间平移 δ

$y(t)=10\,x(t)$

$y_{2}(t)=y(t+\delta )=10\,x(t+\delta )$

很明显，$y_{1}(t)=\,\!y_{2}(t)$，因此该系统是时不变的。

线性时不变（LTI）系统

如果一个系统同时满足线性性质和时不变性质，则该系统是线性时不变（LTI）的。本书几乎完全研究 LTI 系统，因为它们是最容易处理的系统，并且是分析和设计的理想系统。

其他函数性质

除了线性或时不变之外，我们还可以识别出函数的一些其他性质。

记忆

如果系统输出依赖于系统的过去输入（或未来输入），则称该系统具有记忆。如果输出仅依赖于当前输入，则称为无记忆系统。无记忆系统更容易处理，但具有记忆的系统在数字信号处理应用中更为常见。

因果性

因果性与记忆非常类似。如果系统仅依赖于过去或当前输入，则称该系统为因果系统。如果系统的输出依赖于未来的输入，则称该系统为非因果系统。大多数实际系统都是因果的。

稳定性

稳定性是系统中一个非常重要的概念，但它也是最难证明的函数性质之一。系统稳定性有几个不同的标准，但最常见的要求是，系统在受到有限输入时必须产生有限输出。例如，如果我们在给定电路的输入端施加 5 伏电压，我们希望电路输出不趋于无穷大，并且电路本身不会熔化或爆炸。这种稳定性通常称为“有界输入，有界输出”稳定性，或 BIBO。

研究 BIBO 稳定性是一个相对复杂的学习过程，后面关于电子工程的书籍将尝试涵盖该主题。

线性算子

满足线性性质的数学算子称为线性算子。以下是一些常见的线性算子

1. 导数
2. 积分
3. 傅里叶变换

示例：线性函数

确定以下两个函数是否为线性函数

1. $y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)dt$
2. $y(t)={\frac {d}{dt}}x(t)$

冲激响应

冲激响应告诉我们系统在受到冲激信号（也称为狄拉克δ函数）冲击时如何反应。这种冲激响应是分析系统行为的一个非常重要的术语。

零输入响应

$x(t)=u(t)$

$h(t)=e^{-x}u(t)$

零状态响应

零状态响应是指稳态响应或强迫响应。这是系统对输入 f(t) 的响应 y(t)，当系统处于零状态时；也就是说，当所有初始条件都为零时。

二阶解

• 示例。求驱动 RLC 电路的总响应。

卷积

可以使用以下 MATLAB 命令来执行此操作

conv

卷积（折叠在一起）是一个复杂的操作，涉及将两个信号一起积分、相乘、相加和时间偏移。

两个函数a和b的卷积a * b定义为函数

$(a*b)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }a(\tau )b(t-\tau )d\tau$

希腊字母τ（tau）用作积分变量，因为字母t已经使用过了。τ用作“哑变量”，因为我们仅用它来计算积分。

在卷积积分中，所有对t的引用都用τ替换，除了函数b的参数中的-t。函数b通过将τ改为-τ来时间反转。在图形上，此过程将y轴右侧的所有内容移动到左侧，反之亦然。时间反转将函数变为其自身的镜像。

接下来，函数b通过变量t来时间偏移。记住，一旦我们用τ替换所有内容，我们就现在在tau域中计算，而不是像以前那样在时间域中计算。因此，t可用作偏移参数。

我们将两个函数相乘，同时进行时间偏移，并在每个点取所得曲线的面积。两个函数的重叠量逐渐增加，直到某个“分水岭”，之后两个函数的重叠量逐渐减少。在t域中，两个函数重叠的地方，卷积操作有一个值。如果一个（或两个）函数在任何给定范围内不存在，则卷积操作在该范围内的值将为零。

积分完成后，定积分将变量t重新代入变量τ的剩余引用中，我们又得到了一个t的函数。重要的是要记住，所得函数将是两个输入函数的组合，并将共享两个函数的一些属性。

卷积的性质

卷积函数满足某些条件

交换律

$f*g=g*f\,$

结合律

$f*(g*h)=(f*g)*h\,$

分配律

$f*(g+h)=(f*g)+(f*h)\,$

与标量乘法结合

$a(f*g)=(af)*g=f*(ag)\,$

对于任何实数（或复数）a。

微分规则

$(f*g)'=f'*g=f*g'\,$

示例 1

使用（a）卷积方程的积分表示和（b）拉普拉斯域中的乘法，找出以下两个信号x(t)和y(t)的卷积z(t)。

信号y(t)只是Heaviside step，u(t)。

信号x(t)由以下无限正弦曲线x₀(t)和窗口函数x_w(t)给出

$x_{0}(t)=\sin(t)\,$

$x_{w}(t)=u(t)-u(t-2\pi )\,$

因此，我们要执行的卷积是

$z(t)=x(t)*y(t)\,$

$z(t)=\sin(t)\left[u(t)-u(t-2\pi )\right]*u(t)\,$

$z(t)=\left[\sin(t)u(t)-\sin(t)u(t-2\pi )\right]*u(t)\,$

根据分配律

$z(t)=\sin(t)u(t)*u(t)-\sin(t)u(t-2\pi )*u(t)\,$

相关性

可以使用以下 MATLAB 命令来执行此操作

xcorr

类似于卷积，有一种称为“相关性”的技术，它将两个时域函数组合成一个时域结果函数。相关性不像卷积对我们的研究那么重要，但它有一些有用的特性。

两个函数g(t)和h(t)的相关性定义如下

$R_{gh}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }g(\tau )h(t+\tau )d\tau$

其中大写R是相关性运算符，R的下标是相关性运算的参数。

我们立即注意到相关性与卷积相似，只是我们在进行移位和积分之前没有对第二个参数进行时间反转。因此，我们可以用卷积来定义相关性，如下所示

$R_{gh}(t)=g(t)*h(-t)$

相关性的应用

相关性在很多地方都有应用，因为它证明了一个重要的结论：相关性决定了两个参数函数之间的相似程度。相关曲线下的面积越大，两个信号之间的相似度就越高。

自相关性

当一个函数与其自身相关时，术语“自相关性”就是该操作的名称。当相关性运算符的两个下标相同时，表示自相关性

$R_{xx}(t)=x(t)*x(-t)$

虽然将一个函数与其自身进行相关性似乎很荒谬，但自相关性有很多用途，这些用途将在后面讨论。自相关性满足几个重要的性质

1. 自相关性的最大值总是在t = 0处出现。当t趋于无穷大时，该函数始终减小，保持不变或波动（如果信号是周期性的）。
2. 自相关性关于x轴对称。

互相关性

互相关性是指所有不属于“自相关性”的相关性。一般来说，当相关性的函数参数不相等时，就会发生互相关性。互相关性用于查找两个信号之间的相似性。

$R_{gh}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }g(\tau )h(t+\tau )d\tau$

示例：雷达

雷达（无线电探测和测距）是一种利用电磁波脉冲来确定远处物体位置的系统。雷达通过发出信号，然后监听回声来工作。如果范围内有物体，信号会从该物体上反射回来，回到雷达站。然后，雷达将对两个信号进行互相关性，即发送信号和接收信号。互相关信号中的尖峰表明存在物体，尖峰的位置表明经过了多少时间（因此表明物体距离多远）。