狭义相对论/数学方法2

四维向量

四维向量表示时空中的位移。

如果时空的度规由以下给出

$ds^{2}=dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}$

并且如果时空是平坦的，则四维向量的模可以通过以下公式计算

$\mathbf {S} ^{2}=A^{2}-B^{2}-C^{2}-D^{2}$

其中 A，B，C，D 是向量在对应坐标轴 (t,x,y,z) 上的投影。四维向量的模由以下公式给出

$S=|\mathbf {S} ^{2}|^{1/2}={\sqrt {A^{2}-B^{2}-C^{2}-D^{2}}}$

四维向量的标量积（也称为“点积”或“内积”）可以像普通向量（三维向量，参见 标量积）一样推导。因此，两个四维向量 $\mathbf {A.B}$ 的标量积是

$\mathbf {A.B} =A_{t}B_{t}-A_{x}B_{x}-A_{y}B_{y}-A_{z}B_{z}$

这也可以很容易地从闵可夫斯基时空的度规张量中推导出来。两个四维向量 x 和 y 的标量积定义（使用指标记号）为

$x\cdot y=x^{a}\eta _{ab}y^{b}=\left({\begin{matrix}x^{0}&x^{1}&x^{2}&x^{3}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}y^{0}\\y^{1}\\y^{2}\\y^{3}\end{matrix}}\right)=-x^{0}y^{0}+x^{1}y^{1}+x^{2}y^{2}+x^{3}y^{3}$

四维向量的标量积与坐标系无关

${\begin{matrix}A'_{x}&=&\gamma \left(A_{x}-{\frac {v}{c}}A_{t}\right)\\A'_{y}&=&A_{y}\\A'_{z}&=&A_{z}\\A'_{t}&=&\gamma \left(-{\frac {v}{c}}A_{x}+A_{t}\right)\end{matrix}}$

在这个参考系中，标量积为

${\underline {A'}}\cdot {\underline {B'}}=A'_{x}B'_{x}+A'_{y}B'_{y}+A'_{z}B'_{z}-A'_{t}B'_{t}$

简化后，我们得到

${\begin{matrix}{\underline {A'}}\cdot {\underline {B'}}&=&\gamma ^{2}\left(A_{x}B_{x}-{\frac {v}{c}}(A_{x}B_{t}+A_{t}B_{x})+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}A_{t}B_{t}\right)\\&&+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}&\\&&-\gamma ^{2}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}A_{x}B_{x}-{\frac {v}{c}}(A_{x}B_{t}+A_{t}B_{x})+A_{t}B_{t}\right)\\&=&\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-1}\left(A_{x}B_{x}+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}A_{t}B_{t}\right)\\&&+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}\\&&-\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)^{-1}\left({\frac {v^{2}}{c^{2}}}A_{x}B_{x}-A_{t}B_{t}\right)\\&=&A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}-A_{t}B_{t}\end{matrix}}$

这与原始参考系中的标量积相同。

属性

1. 对向量加法的分配律 $\mathbf {A} .(\mathbf {B} +\mathbf {C} )$

2. 对称性 $\mathbf {A.B} =\mathbf {B.A}$

3. 莱布尼茨微分法则适用，即：$d(\mathbf {A.B} )=d\mathbf {A} .\mathbf {B} +\mathbf {A} .d\mathbf {B}$

4. 正交性 $\mathbf {A.B} =0$ 如果 $\mathbf {A}$ 垂直于 $\mathbf {B}$

5. $\mathbf {A.A} =\mathbf {A} ^{2}$

我们现在知道两个四维向量的点积是一个标量结果，即它的值与坐标系无关。这在某些情况下可以被利用。

在时空的奇异几何中，垂直的含义并不明显。因此，我们定义两个四维向量 ${\underline {A}}$ 和 ${\underline {B}}$ 是垂直的，如果它们的点积为零，与三维向量相同。

${\underline {A}}\cdot {\underline {B}}=0$

因为点积是一个标量，如果向量在一个坐标系中是垂直的，它们在所有坐标系中都是垂直的。

我们也可以考虑一个四维向量 ${\underline {A}}$ 的点积，它在未加标注的坐标系中分解为 $(A_{x},A_{t})$。让我们进一步假设在某个加标注的坐标系中，类空间分量为零，因此该坐标系中的分量为 (0, A_t' )。点积与坐标系无关这一事实意味着

${\underline {A}}\cdot {\underline {A}}=A_{x}^{2}-A_{t}^{2}=-A_{t}'^{2}$

这构成了将时空勾股定理扩展到除位置四维向量之外的其他四维向量。因此，例如，某个波的波数在加标注的坐标系中可能为零，这意味着未加标注的坐标系中的波数和频率与加标注的坐标系中的频率的关系为 $k^{2}-\omega ^{2}/c^{2}=-\omega '^{2}/c^{2}$.

我们用下划线表示四维向量，并将分量写成以下形式：${\underline {k}}=(k,\omega /c)$，其中 ${\underline {k}}$ 是波的四维向量，$k$ 是其空间分量，$\omega /c$ 是其时间分量。对于三维空间，我们有一个波向量而不是波数，我们写成 ${\underline {k}}=(k,\omega /c)$。

另一个四维向量的例子是时空中的位置向量，${\underline {x}}=(x,ct)$，或者在三维空间中为${\underline {x}}=(\mathbf {x} ,ct)$。在这个例子中，$c$ 乘以时间分量，这是为了使其与空间分量具有相同的维度。

固有时间

在经典力学中，时间导数 d/dt 就像一个标量，所以我们可以用它乘以一个向量，得到另一个向量。

在相对论中，t 是一个四维向量的一部分，这意味着 d/dt 也是，所以我们不能简单地用 t 对向量进行微分并期望得到向量。

例如，一个静止粒子的位置是 (0, ct)。

从一个以速度 v 向右移动的参考系来看，它的位置变为 (-vτ, cτ)，其中 τ=γt 是在移动参考系中测量的时 间。

如果我们对 τ 进行微分，速度将为 (-v, c)

如果我们对 t 进行微分，在静止参考系中得到 (0, c)，如果这是一个四维向量，那么在移动参考系中将得到 (使用洛伦兹变换) (-γv, -γc)。

这两个表达式在同一参考系中测量时相差一个因子 γ，因此这不能是一个四维向量。

然而，如果移动的观察者除以 γ（即时间膨胀），他们将得到与静止观察者相同的向量。

这样做相当于用粒子自身静止参考系中的时间进行微分。由于这对位置向量有效，我们可以预期它对所有向量都有效。

在粒子静止参考系中测量的时 间称为其固有时间。

用固有时间对向量进行微分得到另一个向量，这是时间导数的相对论等价物。