静力学/力作为向量

读物

向量，第 1.1 - 1.7 章

标量、向量和力

标量

标量是一个只具有大小的量。例如质量、体积和长度。在本教材中，标量用斜体字母表示：$A$。标量可以通过简单代数运算进行操作。

向量

向量是一个既有大小又有方向的量。例如速度、位置和力。在本教材中，向量用带箭头的字母表示：${\vec {A}}$。向量运算使用向量数学，将在下一节中详细介绍。

向量和标量量的示例

速度与速度

考虑一辆以每小时 110 公里的速度向南行驶的汽车。

我们可以将汽车的运动描述为一个速度，大小为每小时 110 公里，方向为南。速度是一个向量，因为它指示大小和方向。

汽车的运动也可以描述为一个标量，即速度为每小时 110 公里，忽略方向。速度是一个标量，因为它只包含大小。

力

外力是一个既有大小又有方向的向量量。

考虑一个悬停在农民田地上方，高度保持不变的热气球。热气球上的浮力将气球向上推。同时，重力作用于气球，将气球向下拉。

浮力和重力作用在相反的方向。如果它们的大小相同，气球将保持悬停在相同的高度。如果浮力大于重力，气球将上升。如果重力大于浮力，气球将下降。

向量表示（二维）

力，以及任何其他向量，都可以用多种方式表示。

图形化

向量可以用箭头图形化表示。向量的长度对应于向量的长度，向量的方向对应于箭头与坐标轴之间的角度。箭头指示了方向的意义。但当一个向量改变方向时，单位将变为 10 倍

极坐标表示法

在极坐标表示法中，向量用向量的大小表示，$r$，以及它与坐标轴的夹角，$\theta$，形式为

${\vec {A}}=r\angle \theta$

或

${\vec {A}}=(r,\theta )$

分量表示法

在分量表示法中，向量用向量在坐标轴上的分量的大小表示。

标量表示法

向量的分量表示为标量值，如果其方向与坐标轴相同，则为正值；如果其方向与坐标轴相反，则为负值。对于一个具有正x分量和负y分量的向量

${\vec {A}}=A_{x}+(-A_{y})=A_{x}-A_{y}$

笛卡尔坐标表示法

向量的分量表示为正标量值乘以笛卡尔单位向量。笛卡尔单位向量是大小为 1 的向量，表示坐标轴的方向。单位向量 ${\hat {i}}$ 表示x轴，单位向量 ${\hat {j}}$ 表示y轴。向量的方向由单位向量的符号指示。对于一个具有正x分量和负y分量的向量

${\vec {A}}=A_{x}{\hat {i}}+A_{y}(-{\hat {j}})=A_{x}{\hat {i}}-A_{y}{\hat {j}}$

或

${\vec {A}}=\langle A_{x},-A_{y}\rangle$

力作为向量

在工程静力学中，我们经常将力转换为分量表示法。用分量替换力，可以更容易地计算作用在物体上的多个力的合力。将力从极坐标转换为分量表示法可以通过以下变换完成

对于力 ${\vec {F}}=F\angle \alpha =F_{x}+F_{y}$

$F_{x}\ =F\cos \alpha$

$F_{y}\ =F\sin \alpha$

$F\ ={\sqrt {F_{x}^{2}+F_{y}^{2}}}$

$\alpha \ =\arctan {\frac {F_{y}}{F_{x}}}$

示例 1

左边的图表显示了 30 度力，右边的图表显示了如何将 30 度力分离为 X 和 Y 分量

考虑一个力，${\vec {F}}$，大小为 $F$，为 100 N，作用在x-y平面上。该力相对于x轴的角度为 $\alpha$，为 30 度。该力在分量表示法中如何表示？

我们可以用一对沿x轴和y轴作用的力来替换该力，如下所示。

$F_{x}=F\cos \alpha =100cos(30)\ =86.6N$

$F_{y}=F\sin \alpha =100sin(30)\ =50.0N$

示例 2

两个作用在 *x-y* 平面上的力作用在一个点上。第一个力是 100 N，角度为 0 度。第二个力是 50 N，角度为 60 度。合力是多少？

首先，将力分解为它们的 *x* 和 *y* 分量。

$F_{1x}=F_{1}\cos(A)\ =100cos(0)=100$

$F_{1y}=F_{1}\sin(A)\ =100sin(0)=0$

$F_{2x}=F_{2}\cos(B)\ =50cos(60)=25$

$F_{2y}=F_{2}\sin(B)\ =50sin(60)=43.3$

将所有 *x* 方向上的力相加。

$F_{x}=F_{1x}+F_{2x}\ =100+25=125$

将所有 *y* 方向上的力相加。

$F_{y}=F_{1y}+F_{2y}\ =0+43.3=43.3$

最后，将合力分量转换回极坐标表示。

${\sqrt {\left(\vert F_{x}\vert ^{2}+\vert F_{y}\vert ^{2}\right)}}=132.3$

$\theta \ =\arctan \left({\frac {F_{y}}{F_{x}}}\right)=19.1^{\circ }$

合力为 132.3 N，角度为 19.1 度。

敬请期待！

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