在大多数数学课程中，到目前为止，我们处理的是**标量**。这些是只需要一个数字来表示的量。例如，驾驶去杂货店的汽油量是一个标量，因为它只需要一个数字：2 加仑。
在本单元中，我们处理的是**向量**。向量是一个**有向线段** - 也就是说，一个指向一个方向或另一个方向的线段。因此，它有一个**起点**和一个**终点**。向量从起点开始，到终点结束，并且向量指向终点。向量绘制为一个带有终点箭头的线段
单个没有坐标轴的向量。 4 2 {\displaystyle 4{\sqrt {2}}}
同一个向量的多个位置。 然而，习惯上将向量放置在起点位于原点的坐标系中，如黑色向量所示。这称为**标准位置**。
在标准做法中，我们不通过列出长度和方向来表达向量。相反，我们使用**分量形式**，它列出向量的垂直高度（上升）和水平宽度（运行）。写成如下形式
( run rise ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}{\text{run}}\\{\text{rise}}\end{pmatrix}}}
表示分量形式的向量还有其他方法，包括
( u x , u y ) {\displaystyle \mathbf {(u_{x},u_{y})} } 和
⟨ u x , u y ⟩ {\displaystyle \mathbf {\left\langle u_{x},u_{y}\right\rangle } } 从图中我们可以看到标准位置的优点：终点的坐标的两个数字与向量的上升和下降的两个数字相同。注意我们把这个向量命名为 u {\displaystyle \mathbf {u} } x , y , z {\displaystyle x,y,z} u , v , w {\displaystyle u,v,w}
当以分量形式表示向量时，不再明显地知道其大小和方向。因此，我们必须进行一些计算才能找到大小和方向。
| u | = u x 2 + u y 2 {\displaystyle |\mathbf {u} |={\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}} 其中 u x {\displaystyle u_{x}} u y {\displaystyle u_{y}}
向量的长度也可以称为范数。
tan ( θ ) = u y u x {\displaystyle \tan(\theta )={\frac {u_{y}}{u_{x}}}}
其中 θ {\displaystyle \theta } x {\displaystyle x}
对于这些定义，假设
u = ( u x u y ) , v = ( v x v y ) {\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{pmatrix}u_{x}\\u_{y}\end{pmatrix}},\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}} 向量加法通常被称为首尾相连 加法，因为这更容易记住。
你正在加的向量的总和被称为合向量，它是从第一个向量的起点（首）到第二个向量的终点（尾）所画的向量。尽管它们看起来像箭头，但尖头部分是尾部，而不是首部。（想象一下你在沿着向量指向的方向行走...... 你会从平的一端（首）开始，朝着尖的一端走去。）
它看起来像这样
（注意，黑线向量是两个点线向量的总和！）
( 4 6 ) + ( 1 − 3 ) = ( 5 3 ) {\displaystyle {\binom {4}{6}}+{\binom {1}{-3}}={\binom {5}{3}}}
或者更一般地
u + v = ( u x + v x u y + v y ) {\displaystyle \mathbf {u} +\mathbf {v} ={\begin{pmatrix}u_{x}+v_{x}\\u_{y}+v_{y}\end{pmatrix}}}
从图形上看，用标量乘以一个向量只改变向量的长度，并且是乘以同一个标量。也就是说，用 2 乘以一个向量将会把向量“拉伸”到其原始长度的两倍，而方向保持不变。
2 ⋅ ( 3 3 ) = ( 6 6 ) {\displaystyle 2\cdot {\binom {3}{3}}={\binom {6}{6}}} 在数值上，可以用以下公式计算出结果向量
c u = ( c u x c u y ) {\displaystyle c\mathbf {u} ={\begin{pmatrix}cu_{x}\\cu_{y}\end{pmatrix}}} ，其中
c {\displaystyle c} 是一个常数标量。
如前所述，长度会乘以相同的常数
| c u | = | c | | u | {\displaystyle |c\mathbf {u} |=|c||\mathbf {u} |} 由于用一个常数乘以一个向量会得到一个方向相同的向量，所以我们可以推断，如果一个向量是另一个向量的常数倍，那么这两个向量是平行的——也就是说， u | | v {\displaystyle \mathbf {u} ||\mathbf {v} } u = c v {\displaystyle \mathbf {u} =c\mathbf {v} } c {\displaystyle c}
我们也可以用倒数乘以一个非零标量来除以它，就像除以普通数字一样
u c = 1 c u , c ≠ 0 {\displaystyle {\frac {\mathbf {u} }{c}}={\frac {1}{c}}\mathbf {u} ,c\neq 0} 对应用于二维向量的函数，线性性质的描述。在本图中，很明显 L ( u + v ) = L ( u ) + L ( v ) {\displaystyle L(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=L(\mathbf {u} )+L(\mathbf {v} )} 给定一个函数 L {\displaystyle L} L {\displaystyle L}
对于任何向量 u {\displaystyle \mathbf {u} } v {\displaystyle \mathbf {v} } L ( u + v ) = L ( u ) + L ( v ) {\displaystyle L(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=L(\mathbf {u} )+L(\mathbf {v} )}
对于任何向量 u {\displaystyle \mathbf {u} } c {\displaystyle c} L ( c u ) = c L ( u ) {\displaystyle L(c\mathbf {u} )=cL(\mathbf {u} )} 更一般地，当给定一个具有多个向量值参数的函数 M {\displaystyle M} u 1 , u 2 , . . . , u n {\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},...,\mathbf {u} _{n}} M {\displaystyle M} M {\displaystyle M}
对于每个 i = 1 , 2 , . . . , n {\displaystyle i=1,2,...,n} u 1 , u 2 , … , u n {\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\dots ,\mathbf {u} _{n}}
对于与 u i {\displaystyle \mathbf {u} _{i}} v {\displaystyle \mathbf {v} } M ( u 1 , . . . , u i + v , . . . , u n ) = M ( u 1 , . . . , u i , . . . , u n ) + M ( u 1 , . . . , v , . . . , u n ) {\displaystyle M(\mathbf {u} _{1},...,\mathbf {u} _{i}+\mathbf {v} ,...,\mathbf {u} _{n})=M(\mathbf {u} _{1},...,\mathbf {u} _{i},...,\mathbf {u} _{n})+M(\mathbf {u} _{1},...,\mathbf {v} ,...,\mathbf {u} _{n})}
对于任何标量 c {\displaystyle c} M ( u 1 , . . . , c u i , . . . , u n ) = c M ( u 1 , . . . , u i , . . . , u n ) {\displaystyle M(\mathbf {u} _{1},...,c\mathbf {u} _{i},...,\mathbf {u} _{n})=cM(\mathbf {u} _{1},...,\mathbf {u} _{i},...,\mathbf {u} _{n})} 如果 n = 2 {\displaystyle n=2} M {\displaystyle M}
点积是一种将两个向量相乘以产生一个标量值的方法。因为它将两个向量的分量组合起来形成一个/标量/，所以它有时被称为标量积。如果你被要求对两个矩形向量进行“点积”，你会做以下操作
u ⋅ v = u x v x + u y v y {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}} 需要特别注意的是，两个向量的点积不会 产生另一个向量，它会给你一个标量，只是一个数值。
如果你的向量不是矩形（“笛卡尔”）格式，可能会出现另一个常见的陷阱。有时，向量以极坐标表示，其中第一个分量是向量的幅度（长度），第二个分量是相对于 x {\displaystyle x}
通过一些重排和三角函数操作，我们可以看到，两个向量点积得到的结果是一个令人惊讶且有用的恒等式
u ⋅ v = | u | | v | cos ( θ ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =|\mathbf {u} ||\mathbf {v} |\cos(\theta )} 其中 θ {\displaystyle \theta }
使用点积计算像甲烷这样的对称四面体分子的键角 这提供了一种方便的方法来找到两个向量之间的夹角
cos ( θ ) = u ⋅ v | u | | v | {\displaystyle \cos(\theta )={\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{|\mathbf {u} ||\mathbf {v} |}}}
注意，点积是“可交换的”，也就是说
u ⋅ v = v ⋅ u {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} } 此外，两个向量的点积将是向量长度的平方
u ⋅ u = u x u x + u y u y = ( u x ) 2 + ( u y ) 2 {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {u} =u_{x}u_{x}+u_{y}u_{y}=(u_{x})^{2}+(u_{y})^{2}} 根据勾股定理，
( u x ) 2 + ( u y ) 2 = | u | 2 {\displaystyle (u_{x})^{2}+(u_{y})^{2}=|\mathbf {u} |^{2}} 点积可以被视为一个向量投影到另一个向量上的长度。换句话说，点积询问“这个向量的多少大小指向那个向量方向？”
从点积的以下定义开始： u ⋅ v = | u | | v | cos ( θ ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =|\mathbf {u} ||\mathbf {v} |\cos(\theta )} θ {\displaystyle \theta } u {\displaystyle \mathbf {u} } v {\displaystyle \mathbf {v} }
公式 u ⋅ v = u x v x + u y v y {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}}
三角形 Δ A O B {\displaystyle \Delta AOB} 方法 1
一种较为直接的方法是利用余弦定理。创建一个三角形 Δ A O B {\displaystyle \Delta AOB} A ( u x , u y ) {\displaystyle A(u_{x},u_{y})} O ( 0 , 0 ) {\displaystyle O(0,0)} B ( v x , v y ) {\displaystyle B(v_{x},v_{y})} O A → = u {\displaystyle {\vec {OA}}=\mathbf {u} } O B → = v {\displaystyle {\vec {OB}}=\mathbf {v} } A B → = v − u {\displaystyle {\vec {AB}}=\mathbf {v} -\mathbf {u} } ∠ A O B = θ {\displaystyle \angle AOB=\theta }
三角形的边长分别为 | O A | = | u | {\displaystyle |OA|=|\mathbf {u} |} | O B | = | v | {\displaystyle |OB|=|\mathbf {v} |} | A B | = | v − u | {\displaystyle |AB|=|\mathbf {v} -\mathbf {u} |}
| A B | 2 = | O A | 2 + | O B | 2 − 2 | O A | | O B | cos ( ∠ A O B ) {\displaystyle |AB|^{2}=|OA|^{2}+|OB|^{2}-2|OA||OB|\cos(\angle AOB)} ⟺ | v − u | 2 = | u | 2 + | v | 2 − 2 | u | | v | cos ( θ ) {\displaystyle \iff |\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}=|\mathbf {u} |^{2}+|\mathbf {v} |^{2}-2|\mathbf {u} ||\mathbf {v} |\cos(\theta )} ⟺ ( v x − u x ) 2 + ( v y − u y ) 2 = ( u x 2 + u y 2 ) + ( v x 2 + v y 2 ) − 2 | u | | v | cos ( θ ) {\displaystyle \iff (v_{x}-u_{x})^{2}+(v_{y}-u_{y})^{2}=(u_{x}^{2}+u_{y}^{2})+(v_{x}^{2}+v_{y}^{2})-2|\mathbf {u} ||\mathbf {v} |\cos(\theta )} ⟺ − 2 u x v x − 2 u y v y = − 2 | u | | v | cos ( θ ) {\displaystyle \iff -2u_{x}v_{x}-2u_{y}v_{y}=-2|\mathbf {u} ||\mathbf {v} |\cos(\theta )} ⟺ | u | | v | cos ( θ ) = u x v x + u y v y {\displaystyle \iff |\mathbf {u} ||\mathbf {v} |\cos(\theta )=u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}}
因此 u ⋅ v = u x v x + u y v y {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}}
方法 2
对 u ⋅ v = u x v x + u y v y {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}}
保持 u {\displaystyle \mathbf {u} } u ⋅ v {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} } v {\displaystyle \mathbf {v} }
保持 v {\displaystyle \mathbf {v} } u ⋅ v {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} } u {\displaystyle \mathbf {u} } 由于从定义 u ⋅ v = | u | | v | cos ( θ ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =|\mathbf {u} ||\mathbf {v} |\cos(\theta )} u ⋅ v = v ⋅ u {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} } v {\displaystyle \mathbf {v} } u {\displaystyle \mathbf {u} } v {\displaystyle \mathbf {v} }
v {\displaystyle \mathbf {v} } L ( u ) {\displaystyle L(\mathbf {u} )} u ⋅ v = | u | | v | cos ( θ ) = | u | proj ( v | u ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =|\mathbf {u} ||\mathbf {v} |\cos(\theta )=|\mathbf {u} |{\text{proj}}(\mathbf {v} |\mathbf {u} )} proj ( v | u ) = | v | cos ( θ ) {\displaystyle {\text{proj}}(\mathbf {v} |\mathbf {u} )=|\mathbf {v} |\cos(\theta )} v {\displaystyle \mathbf {v} } L ( u ) {\displaystyle L(\mathbf {u} )} u {\displaystyle \mathbf {u} } proj ( v | u ) {\displaystyle {\text{proj}}(\mathbf {v} |\mathbf {u} )} v {\displaystyle \mathbf {v} } u {\displaystyle \mathbf {u} } u ⋅ v = | u | proj ( v | u ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =|\mathbf {u} |{\text{proj}}(\mathbf {v} |\mathbf {u} )} v {\displaystyle \mathbf {v} }
点积的双线性现在使得推导
u ⋅ v = ( u x u y ) ⋅ ( v x v y ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}u_{x}\\u_{y}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}} = ( u x ( 1 0 ) + u y ( 0 1 ) ) ⋅ ( v x ( 1 0 ) + v y ( 0 1 ) ) {\displaystyle =\left(u_{x}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+u_{y}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right)\cdot \left(v_{x}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+v_{y}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right)} = ( ( u x ( 1 0 ) + u y ( 0 1 ) ) ⋅ ( 1 0 ) ) v x + ( ( u x ( 1 0 ) + u y ( 0 1 ) ) ⋅ ( 0 1 ) ) v y {\displaystyle =\left(\left(u_{x}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+u_{y}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right)\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\right)v_{x}+\left(\left(u_{x}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+u_{y}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right)\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right)v_{y}} = ( ( 1 0 ) ⋅ ( 1 0 ) ) u x v x + ( ( 0 1 ) ⋅ ( 1 0 ) ) u y v x + ( ( 1 0 ) ⋅ ( 0 1 ) ) u x v y + ( ( 0 1 ) ⋅ ( 0 1 ) ) u y v y {\displaystyle =\left({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\right)u_{x}v_{x}+\left({\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\right)u_{y}v_{x}+\left({\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right)u_{x}v_{y}+\left({\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right)u_{y}v_{y}} = 1 u x v x + 0 u y v x + 0 u x v y + 1 u y v y {\displaystyle =1u_{x}v_{x}+0u_{y}v_{x}+0u_{x}v_{y}+1u_{y}v_{y}} = u x v x + u y v y {\displaystyle =u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}}
因此 u ⋅ v = u x v x + u y v y {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}}
单位向量 是指长度为 1 的向量。向量 u 的单位向量 是指与 u {\displaystyle \mathbf {u} }
单位向量 u {\displaystyle \mathbf {u} } 标准化 。如标量乘法 中所述，将向量乘以常数 c {\displaystyle c} c {\displaystyle c} u {\displaystyle \mathbf {u} } u {\displaystyle \mathbf {u} }
w = u | u | {\displaystyle \mathbf {w} ={\frac {\mathbf {u} }{|\mathbf {u} |}}} ，其中
w {\displaystyle \mathbf {w} } 是
u {\displaystyle \mathbf {u} } 的单位向量。
单位向量 的一个特例是标准单位向量 i , j {\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} } i {\displaystyle \mathbf {i} } x {\displaystyle x} j {\displaystyle \mathbf {j} } y {\displaystyle y}
i = ( 1 0 ) {\displaystyle \mathbf {i} ={\binom {1}{0}}}
j = ( 0 1 ) {\displaystyle \mathbf {j} ={\binom {0}{1}}}
使用标量乘法和向量加法规则，我们可以用不同的方式表达向量。
( x y ) = x i + y j {\displaystyle {\binom {x}{y}}=x\mathbf {i} +y\mathbf {j} } 如果我们把这个方程解出来，它是有意义的。将 x {\displaystyle x} i {\displaystyle \mathbf {i} } ( x 0 ) {\displaystyle {\binom {x}{0}}} y {\displaystyle y} j {\displaystyle \mathbf {j} } ( 0 y ) {\displaystyle {\binom {0}{y}}} ( x y ) {\displaystyle {\binom {x}{y}}} i , j {\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} }
有时需要将向量 u {\displaystyle \mathbf {u} } v {\displaystyle \mathbf {v} } u ∥ {\displaystyle \mathbf {u} _{\parallel }} u ⊥ {\displaystyle \mathbf {u} _{\perp }}
由于 u ∥ {\displaystyle \mathbf {u} _{\parallel }} | u | ⋅ cos ( θ ) {\displaystyle |\mathbf {u} |\cdot \cos(\theta )} u ⊥ {\displaystyle \mathbf {u} _{\perp }} u ∥ {\displaystyle \mathbf {u} _{\parallel }}
u ∥ = | u | ∗ ( u ⋅ v ) ( | u | | v | ) ∗ v | v | = u ⋅ v | v | 2 v {\displaystyle \mathbf {u_{\parallel }} =|\mathbf {u} |*{\frac {(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{(|\mathbf {u} ||\mathbf {v} |)}}*{\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}={\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{|\mathbf {v} |^{2}}}\mathbf {v} }
和
u ⊥ = u − u ∥ {\displaystyle \mathbf {u} _{\perp }=\mathbf {u} -\mathbf {u} _{\parallel }} 向量的长度由向量与其自身的点积给出，并且 θ = 0 r a d {\displaystyle \theta =0\ rad}
u ⋅ u = | u | | u | cos ( θ ) = | u | 2 {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {u} =|\mathbf {u} ||\mathbf {u} |\cos(\theta )=|\mathbf {u} |^{2}} 如果两个向量的夹角 θ {\displaystyle \theta } π 2 {\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}} u = ( u x u y ) {\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{pmatrix}u_{x}\\u_{y}\end{pmatrix}}}
v = ( − u y u x ) = − ( u y − u x ) {\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}-u_{y}\\u_{x}\end{pmatrix}}=-{\begin{pmatrix}u_{y}\\-u_{x}\end{pmatrix}}} 极坐标是另一种二维坐标系，当旋转很重要时，它通常很有用。 我们不指定沿 x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} r {\displaystyle r} θ {\displaystyle \theta }
观察这个图，我们可以看到 x , y {\displaystyle x,y} r {\displaystyle r} θ {\displaystyle \theta }
x = r cos ( θ ) r = x 2 + y 2 y = r sin ( θ ) θ = arctan ( y x ) {\displaystyle {\begin{matrix}x=r\cos(\theta )&r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\y=r\sin(\theta )&\theta =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)\end{matrix}}} 由于 tan-1 是多值的，因此必须注意选择正确的值。
就像笛卡尔坐标系中指向 x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} r {\displaystyle r} θ {\displaystyle \theta }
我们将这些向量称为 r ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}} θ ^ {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}
再次，从图中可以看出，
i = r ^ cos ( θ ) − θ ^ sin ( θ ) r ^ = x r i + y r j j = r ^ sin ( θ ) + θ ^ cos ( θ ) θ ^ = − y r i + x r j {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {i} ={\hat {\mathbf {r} }}\cos(\theta )-{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\sin(\theta )&{\hat {\mathbf {r} }}={\frac {x}{r}}\mathbf {i} +{\frac {y}{r}}\mathbf {j} \\\mathbf {j} ={\hat {\mathbf {r} }}\sin(\theta )+{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\cos(\theta )&{\hat {\boldsymbol {\theta }}}=-{\frac {y}{r}}\mathbf {i} +{\frac {x}{r}}\mathbf {j} \end{matrix}}}
我们之前讨论过的二维笛卡尔坐标系可以很容易地扩展到三维，方法是添加一个额外的值： z {\displaystyle z} ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} z {\displaystyle z}
3D坐标轴。 与二维坐标系中的两个坐标轴类似，空间中有三个坐标平面 。分别是 x y {\displaystyle xy} 平面 ， y z {\displaystyle yz} 平面 和 x z {\displaystyle xz} 平面 。每个平面都是包含名称中提到的两个轴的“纸张”。例如， y z {\displaystyle yz} y {\displaystyle y} z {\displaystyle z} x {\displaystyle x}
空间中的坐标平面。 因此，向量可以通过简单地添加 z {\displaystyle z}
u = ( x y z ) {\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}} 为了方便标准形式的表示，我们添加另一个标准单位向量
k = ( 0 0 1 ) {\displaystyle \mathbf {k} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}} 同样，两种形式（分量形式和标准形式）是等价的。
( 1 2 3 ) = 1 i + 2 j + 3 k {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}=1\mathbf {i} +2\mathbf {j} +3\mathbf {k} } 模长 : 三维空间中的模长与二维空间中的模长相同，只是在被开方数中添加了一个 z {\displaystyle z}
| u | = u x 2 + u y 2 + u z 2 {\displaystyle |\mathbf {u} |={\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}}}} 极坐标系扩展到三维空间，有两种不同的坐标系，即圆柱坐标系和球坐标系，两者都包含二维或平面极坐标作为子集。本质上，圆柱坐标系通过添加一个额外的距离坐标来扩展极坐标，而球坐标系则添加一个额外的角度坐标。
用圆柱坐标绘制的点。 圆柱坐标系 是一个坐标系，它本质上通过添加一个测量点在平面以上高度的第三个坐标来扩展二维极坐标系，类似于笛卡尔坐标系扩展到三维空间的方式。第三个坐标通常表示为 h {\displaystyle h} z {\displaystyle z} ( r , θ , h ) {\displaystyle (r,\theta ,h)} ( r , θ , z ) {\displaystyle (r,\theta ,z)}
三个圆柱坐标可以通过以下公式转换为笛卡尔坐标
x = r cos ( θ ) y = r sin ( θ ) z = h {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos(\theta )\\y&=r\sin(\theta )\\z&=h\end{aligned}}} 用球坐标绘制的点 极坐标也可以扩展到三维空间，使用坐标 ( ρ , ϕ , θ ) {\displaystyle (\rho ,\phi ,\theta )} ( ρ , φ , θ ) {\displaystyle (\rho ,\varphi ,\theta )} ρ {\displaystyle \rho } ϕ {\displaystyle \phi } φ {\displaystyle \varphi } z {\displaystyle z} θ {\displaystyle \theta } x {\displaystyle x} δ {\displaystyle \delta } ϕ {\displaystyle \phi } δ = 90 ∘ − ϕ {\displaystyle \delta =90^{\circ }-\phi } l {\displaystyle l} l = θ − 180 ∘ {\displaystyle l=\theta -180^{\circ }}
三个球面坐标转换为笛卡尔坐标如下：
x = ρ sin ( ϕ ) cos ( θ ) y = ρ sin ( ϕ ) sin ( θ ) z = ρ cos ( ϕ ) {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \sin(\phi )\cos(\theta )\\y&=\rho \sin(\phi )\sin(\theta )\\z&=\rho \cos(\phi )\end{aligned}}} ρ = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}} θ = arctan ( y x ) {\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)} ϕ = arccos ( z ρ ) {\displaystyle \phi =\arccos \left({\frac {z}{\rho }}\right)} 两个向量的叉积是一个 行列式
u × v = | i j k u x u y u z v x v y v z | {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{x}&u_{y}&u_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{vmatrix}}} 它也是一个伪向量 .
两个向量的叉积与这两个向量都正交。叉积的大小是两个向量的大小和它们之间夹角的正弦的乘积。
| u × v | = | u | | v | sin ( θ ) {\displaystyle |\mathbf {u} \times \mathbf {v} |=|\mathbf {u} ||\mathbf {v} |\sin(\theta )} 这个大小是这两个向量定义的平行四边形的面积。
叉积是线性的 和反交换的 。对于任何数字 a , b {\displaystyle a,b}
u × ( a v + b w ) = a u × v + b u × w u × v = − v × u {\displaystyle \mathbf {u} \times \left(a\mathbf {v} +b\mathbf {w} \right)=a\mathbf {u} \times \mathbf {v} +b\mathbf {u} \times \mathbf {w} \qquad \mathbf {u} \times \mathbf {v} =-\mathbf {v} \times \mathbf {u} } 如果两个向量都指向同一个方向，它们的叉积为 0。
向量 u {\displaystyle \mathbf {u} } v {\displaystyle \mathbf {v} } 从以下叉积定义开始： u × v = ( | u | | v | sin θ ) n ^ {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =(|\mathbf {u} ||\mathbf {v} |\sin \theta ){\hat {\mathbf {n} }}} n ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} u {\displaystyle \mathbf {u} } v {\displaystyle \mathbf {v} } θ {\displaystyle \theta } u {\displaystyle \mathbf {u} } v {\displaystyle \mathbf {v} } n ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}
公式 u × v = ( u y v z − u z v y ) i + ( u z v x − u x v z ) j + ( u x v y − u y v x ) k {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u_{y}v_{z}-u_{z}v_{y})\mathbf {i} +(u_{z}v_{x}-u_{x}v_{z})\mathbf {j} +(u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x})\mathbf {k} }
保持 u {\displaystyle \mathbf {u} } u × v {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} } v {\displaystyle \mathbf {v} }
保持 v {\displaystyle \mathbf {v} } u × v {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} } u {\displaystyle \mathbf {u} } 从定义 u × v = ( | u | | v | sin θ ) n ^ {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =(|\mathbf {u} ||\mathbf {v} |\sin \theta ){\hat {\mathbf {n} }}} u × v = − v × u {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =-\mathbf {v} \times \mathbf {u} } n ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} u {\displaystyle \mathbf {u} } v {\displaystyle \mathbf {v} } v {\displaystyle \mathbf {v} } u {\displaystyle \mathbf {u} } v {\displaystyle \mathbf {v} }
关于直线 L ( u ) {\displaystyle L(\mathbf {u} )} v {\displaystyle \mathbf {v} } u × v = ( | u | | v | sin θ ) n ^ = | u | rotate ( perp ( v | u ) | u ) {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =(|\mathbf {u} ||\mathbf {v} |\sin \theta ){\hat {\mathbf {n} }}=|\mathbf {u} |{\textbf {rotate}}({\textbf {perp}}(\mathbf {v} |\mathbf {u} )|\mathbf {u} )}
perp ( v | u ) {\displaystyle {\textbf {perp}}(\mathbf {v} |\mathbf {u} )} v {\displaystyle \mathbf {v} } L ( u ) {\displaystyle L(\mathbf {u} )} u {\displaystyle \mathbf {u} } perp ( v | u ) = ( | v | sin θ ) m ^ {\displaystyle {\textbf {perp}}(\mathbf {v} |\mathbf {u} )=(|\mathbf {v} |\sin \theta ){\hat {\mathbf {m} }}} m ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {m} }}} perp ( v | u ) {\displaystyle {\textbf {perp}}(\mathbf {v} |\mathbf {u} )} rotate ( w | u ) {\displaystyle {\textbf {rotate}}(\mathbf {w} |\mathbf {u} )} w {\displaystyle \mathbf {w} } L ( u ) {\displaystyle L(\mathbf {u} )} rotate ( m ^ | u ) = n ^ {\displaystyle {\textbf {rotate}}({\hat {\mathbf {m} }}|\mathbf {u} )={\hat {\mathbf {n} }}} 很容易观察到 perp ( v | u ) {\displaystyle {\textbf {perp}}(\mathbf {v} |\mathbf {u} )} v {\displaystyle \mathbf {v} } u {\displaystyle \mathbf {u} } rotate ( w | u ) {\displaystyle {\textbf {rotate}}(\mathbf {w} |\mathbf {u} )} w {\displaystyle \mathbf {w} } u {\displaystyle \mathbf {u} } u × v = ( | u | | v | sin θ ) n ^ = | u | rotate ( perp ( v | u ) | u ) {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =(|\mathbf {u} ||\mathbf {v} |\sin \theta ){\hat {\mathbf {n} }}=|\mathbf {u} |{\textbf {rotate}}({\textbf {perp}}(\mathbf {v} |\mathbf {u} )|\mathbf {u} )} v {\displaystyle \mathbf {v} }
叉积的双线性现在使得推导成为可能
u × v = ( u x i + u y j + u z k ) × ( v x i + v y j + v z k ) {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )\times (v_{x}\mathbf {i} +v_{y}\mathbf {j} +v_{z}\mathbf {k} )} = v x ( ( u x i + u y j + u z k ) × i ) + v y ( ( u x i + u y j + u z k ) × j ) + v z ( ( u x i + u y j + u z k ) × k ) {\displaystyle =v_{x}((u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )\times \mathbf {i} )+v_{y}((u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )\times \mathbf {j} )+v_{z}((u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )\times \mathbf {k} )} = u x v x ( i × i ) + u y v x ( j × i ) + u z v x ( k × i ) + u x v y ( i × j ) + u y v y ( j × j ) + u z v y ( k × j ) + u x v z ( i × k ) + u y v z ( j × k ) + u z v z ( k × k ) {\displaystyle =u_{x}v_{x}(\mathbf {i} \times \mathbf {i} )+u_{y}v_{x}(\mathbf {j} \times \mathbf {i} )+u_{z}v_{x}(\mathbf {k} \times \mathbf {i} )+u_{x}v_{y}(\mathbf {i} \times \mathbf {j} )+u_{y}v_{y}(\mathbf {j} \times \mathbf {j} )+u_{z}v_{y}(\mathbf {k} \times \mathbf {j} )+u_{x}v_{z}(\mathbf {i} \times \mathbf {k} )+u_{y}v_{z}(\mathbf {j} \times \mathbf {k} )+u_{z}v_{z}(\mathbf {k} \times \mathbf {k} )} = u x v y 0 + u y v x ( − k ) + u z v x j + u x v y k + u y v y 0 + u z v y ( − i ) + u x v z ( − j ) + u y v z i + u z v z 0 {\displaystyle =u_{x}v_{y}\mathbf {0} +u_{y}v_{x}(-\mathbf {k} )+u_{z}v_{x}\mathbf {j} +u_{x}v_{y}\mathbf {k} +u_{y}v_{y}\mathbf {0} +u_{z}v_{y}(-\mathbf {i} )+u_{x}v_{z}(-\mathbf {j} )+u_{y}v_{z}\mathbf {i} +u_{z}v_{z}\mathbf {0} } = ( u y v z − u z v y ) i + ( u z v x − u x v z ) j + ( u x v y − u y v x ) k {\displaystyle =(u_{y}v_{z}-u_{z}v_{y})\mathbf {i} +(u_{z}v_{x}-u_{x}v_{z})\mathbf {j} +(u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x})\mathbf {k} }
因此 u × v = ( u y v z − u z v y ) i + ( u z v x − u x v z ) j + ( u x v y − u y v x ) k {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u_{y}v_{z}-u_{z}v_{y})\mathbf {i} +(u_{z}v_{x}-u_{x}v_{z})\mathbf {j} +(u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x})\mathbf {k} }
如果我们有三个向量，我们可以用两种方法将它们组合起来，一个三重标量积，
u ⋅ ( v × w ) {\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )} 以及一个三重向量积
u × ( v × w ) {\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )} 三重标量积是一个行列式
u ⋅ ( v × w ) = | u x u y u z v x v y v z w x w y w z | {\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )={\begin{vmatrix}u_{x}&u_{y}&u_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\w_{x}&w_{y}&w_{z}\end{vmatrix}}} 如果三个向量从原点看去是顺时针排列的，那么该积的符号为正。如果它们是逆时针排列的，那么符号为负。
叉积和点积的顺序无关紧要。
u ⋅ ( v × w ) = ( u × v ) ⋅ w {\displaystyle \mathbf {u} \cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\cdot \mathbf {w} } 无论哪种方式，该积的绝对值都是由三个向量 u , v , w {\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} }
三重向量积可以简化。
u × ( v × w ) = ( u ⋅ w ) v − ( u ⋅ v ) w {\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} } 这种形式更容易进行计算。
三重向量积不是 结合的。
u × ( v × w ) ≠ ( u × v ) × w {\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )\neq (\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\times \mathbf {w} } 在某些特殊情况下，两边相等，但一般来说，括号很重要。它们不能省略。
我们将使用 r {\displaystyle \mathbf {r} }
向量 a {\displaystyle \mathbf {a} } b {\displaystyle \mathbf {b} }
r = s a + b {\displaystyle \mathbf {r} =s\mathbf {a} +\mathbf {b} } 这是一个参数方程 。位置是根据参数 s {\displaystyle s}
任何两个向量的线性组合， a , b {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }
r = s a + t b + c {\displaystyle \mathbf {r} =s\mathbf {a} +t\mathbf {b} +\mathbf {c} } 如果我们选择 a , b {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} } 标准正交 向量（即直角单位向量），那么 s , t {\displaystyle s,t}
这些参数方程可以扩展到更高维度。
我们不提供直线和平面的参数方程，而是使用约束条件。例如，对于 x y {\displaystyle xy} z = 0 {\displaystyle z=0}
对于通过原点的平面，垂直于平面的单个向量， n {\displaystyle \mathbf {n} }
r ⋅ n = 0 {\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {n} =0} 是通过原点的平面，垂直于 n {\displaystyle \mathbf {n} }
对于不通过原点的平面，我们得到
( r − a ) ⋅ n = 0 r ⋅ n = a ⋅ n {\displaystyle (\mathbf {r} -\mathbf {a} )\cdot \mathbf {n} =0\qquad \mathbf {r} \cdot \mathbf {n} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} } 一条直线位于两个平面的交线上，因此它必须满足两个平面的约束条件，即
r ⋅ n = a r ⋅ m = b {\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {n} =a\qquad \mathbf {r} \cdot \mathbf {m} =b} 这些约束方程也可以扩展到更高维度。
向量值函数是函数，它们不提供结果标量值，而是提供结果向量值。它们有助于创建方向和向量场，因此在物理学中用于帮助可视化电场、磁场和许多其他类型的场。它们具有以下形式
F ( t ) = ( a 1 ( t ) ⋮ a n ( t ) ) {\displaystyle \mathbf {F(t)} ={\begin{pmatrix}\mathbf {a_{1}(t)} \\\vdots \\\mathbf {a_{n}(t)} \end{pmatrix}}}
简单来说，向量值函数的极限是其各个部分的极限。
证明 假设 lim t → c F ( t ) = L = ( a 1 ⋮ a n ) {\displaystyle \lim _{t\to c}\mathbf {F} (t)=\mathbf {L} ={\begin{pmatrix}\mathbf {a_{1}} \\\vdots \\\mathbf {a_{n}} \end{pmatrix}}}
因此，对于任何 ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ϕ > 0 {\displaystyle \phi >0}
0 < | t − c | < ϕ ⟹ | F ( t ) − L | < ε {\displaystyle 0<|t-c|<\phi \implies |\mathbf {F} (t)-\mathbf {L} |<\varepsilon }
但根据三角不等式 | a 1 | ≤ | F | ≤ | a 1 | + ⋯ + | a n | {\displaystyle |a_{1}|\leq |\mathbf {F} |\leq |a_{1}|+\cdots +|a_{n}|}
| a 1 ( t ) − a 1 | ≤ | F ( t ) − L | {\displaystyle |a_{1}(t)-a_{1}|\leq |\mathbf {F} (t)-\mathbf {L} |}
所以
0 < | t − c | < ϕ ⟹ | a 1 ( t ) − a 1 | < ε {\displaystyle 0<|t-c|<\phi \implies |a_{1}(t)-a_{1}|<\varepsilon }
因此 lim t → c a 1 ( t ) = a 1 {\displaystyle \lim _{t\to c}a_{1}(t)=a_{1}}
类似的论据可以应用于所有部分 a n ( t ) {\displaystyle a_{n}(t)}
现在令 lim t → c F ( t ) = L = ( a 1 ⋮ a n ) {\displaystyle \lim _{t\to c}\mathbf {F} (t)=\mathbf {L} ={\begin{pmatrix}\mathbf {a_{1}} \\\vdots \\\mathbf {a_{n}} \end{pmatrix}}} ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ϕ > 0 {\displaystyle \phi >0} 0 < | t − c | < ϕ {\displaystyle 0<|t-c|<\phi }
| a n ( t ) − a n | < ε n {\displaystyle |a_{n}(t)-a_{n}|<{\frac {\varepsilon }{n}}}
那么
0 < | t − c | < ϕ ⟹ | F ( t ) − L | ≤ ε 1 n + ⋯ + ε n n = ε {\displaystyle 0<|t-c|<\phi \implies |\mathbf {F} (t)-\mathbf {L} |\leq {\frac {\varepsilon _{1}}{n}}+\cdots +{\frac {\varepsilon _{n}}{n}}=\varepsilon }
因此
lim t → c F ( t ) = L = ( a 1 ⋮ a n ) = ( lim t → c a 1 ( t ) ⋮ lim t → c a n ( t ) ) {\displaystyle \lim _{t\to c}\mathbf {F} (t)=\mathbf {L} ={\begin{pmatrix}\mathbf {a_{1}} \\\vdots \\\mathbf {a_{n}} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lim \limits _{t\to c}\mathbf {a_{1}(t)} \\\vdots \\\lim \limits _{t\to c}\mathbf {a_{n}(t)} \end{pmatrix}}}
由此，我们可以创建一个向量值函数导数的精确定义
F ′ ( t ) = lim h → 0 F ( t + h ) − F ( t ) h = ( a 1 ( t ) ⋮ a n ( t ) ) = lim h → 0 ( a 1 ( t + h ) ⋮ a n ( t + h ) ) − ( a 1 ( t ) ⋮ a n ( t ) ) h = ( lim h → 0 a 1 ( t + h ) − a 1 ( t ) h ⋮ lim h → 0 a n ( t + h ) − a n ( t ) h ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} '(t)&=\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {F} (t+h)-\mathbf {F} (t)}{h}}={\begin{pmatrix}\mathbf {a_{1}(t)} \\\vdots \\\mathbf {a_{n}(t)} \end{pmatrix}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {{\begin{pmatrix}\mathbf {a_{1}(t+h)} \\\vdots \\\mathbf {a_{n}(t+h)} \end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\mathbf {a_{1}(t)} \\\vdots \\\mathbf {a_{n}(t)} \end{pmatrix}}}{h}}\\&={\begin{pmatrix}\lim \limits _{h\to 0}{\dfrac {a_{1}(t+h)-a_{1}(t)}{h}}\\\vdots \\\lim \limits _{h\to 0}{\dfrac {a_{n}(t+h)-a_{n}(t)}{h}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
最后一步是通过我们刚对极限所做的操作来完成的。
根据微积分基本定理，积分可以应用于向量的分量。
换句话说：向量函数的极限是其各个部分的极限，向量函数的导数是其各个部分的导数，向量函数的积分是其各个部分的积分。
假设我们有一个向量值函数，它从原点开始，随着其自变量的变化，向量所指向的点会描绘出一条路径。
我们将这个向量称为 r ( t ) {\displaystyle \mathbf {r} (t)} 位置向量 。
如果 r {\displaystyle \mathbf {r} }
r ( t + h ) − r ( t ) {\displaystyle \mathbf {r} (t+h)-\mathbf {r} (t)} r ′ ( t ) = v ( t ) {\displaystyle \mathbf {r} '(t)=\mathbf {v} (t)} v ( t ) {\displaystyle \mathbf {v} (t)} | v ( t ) | {\displaystyle |\mathbf {v} (t)|} r ″ ( t ) = v ′ ( t ) = a ( t ) {\displaystyle \mathbf {r} ''(t)=\mathbf {v} '(t)=\mathbf {a} (t)} a ( t ) {\displaystyle \mathbf {a} (t)} 有时还会用到另一个向量，称为曲率向量。
用来求曲率向量的向量 T ( t ) {\displaystyle \mathbf {T} (t)} v ( t ) | v ( t ) | {\displaystyle {\frac {\mathbf {v} (t)}{|\mathbf {v} (t)|}}} v ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {v}} }
然后，该向量的法向量 N {\displaystyle \mathbf {N} } T ′ ( t ) | v ( t ) | {\displaystyle {\frac {\mathbf {T} '(t)}{|\mathbf {v} (t)|}}}
我们可以通过取点积来验证这一点
T ⋅ N = 0 {\displaystyle \mathbf {T} \cdot \mathbf {N} =0}
还要注意 | v ( t ) | = d s d t {\displaystyle |\mathbf {v} (t)|={\frac {ds}{dt}}}
和
T ( t ) = v | v | = d r d t d s d t = d r d s {\displaystyle \mathbf {T} (t)={\frac {v}{|v|}}={\frac {\frac {dr}{dt}}{\frac {ds}{dt}}}={\frac {dr}{ds}}}
和
N = T ′ ( t ) | v ( t ) | = d T d t d s d t = d T d s {\displaystyle \mathbf {N} ={\frac {\mathbf {T} '(t)}{|\mathbf {v} (t)|}}={\frac {\frac {dT}{dt}}{\frac {ds}{dt}}}={\frac {dT}{ds}}}
然后，我们实际上可以验证
d d s ( T ⋅ T ) = d d s ( 1 ) {\displaystyle {\frac {d}{ds}}(\mathbf {T} \cdot \mathbf {T} )={\frac {d}{ds}}(1)}
d T d s ⋅ T + T ⋅ d T d s = 0 {\displaystyle {\frac {dT}{ds}}\cdot \mathbf {T} +\mathbf {T} \cdot {\frac {dT}{ds}}=0}
2 T ⋅ d T d s = 0 {\displaystyle 2\mathbf {T} \cdot {\frac {dT}{ds}}=0}
T ⋅ d T d s = 0 {\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\frac {dT}{ds}}=0}
T ⋅ N = 0 {\displaystyle \mathbf {T} \cdot \mathbf {N} =0}
因此 N {\displaystyle \mathbf {N} } T {\displaystyle \mathbf {T} }
这导致了 **单位法向量** d T d s | d T d s | {\displaystyle {\frac {\frac {dT}{ds}}{\left|{\frac {dT}{ds}}\right|}}} ( | d T d s | ) − 1 {\displaystyle (|{\frac {dT}{ds}}|)^{-1}}
唯一没有提到的就是三维曲线中出现的副法线 T × N = B {\displaystyle \mathbf {T} \times \mathbf {N} =\mathbf {B} }
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