统计/测试数据/compare-prop2

以下是一个来自2004年美国总统大选的运行示例。应该清楚的是，民意调查的选择以及谁领先与概念的介绍无关。根据新闻周刊（链接）于10月2日进行的一项民意调查，如果今天举行选举，47%的1013名已登记选民将投票给约翰·克里/约翰·爱德华兹。45%的人会投票给乔治·W·布什/迪克·切尼，2%的人会投票给拉尔夫·纳德/彼得·卡梅霍。

• 在Microsoft Excel程序中打开一个新的空白工作簿。
• 在单元格A1中输入克里的报告百分比*p*（0.47）。
• 在单元格B1中输入布什的报告百分比*q*（0.45）。
• 在单元格C1中输入受访者人数*N*（1013）。这可以在大多数关于民意调查的负责任报告中找到。
• 在单元格A2中，完整复制并粘贴下一行文本并按Enter键。这是Microsoft Excel对如上所述的差异标准误的表达式。

=sqrt(A1*(1-A1)/C1+B1*(1-B1)/C1+2*A1*B1/C1)

• 在单元格A3中，完整复制并粘贴下一行文本并按Enter键。这是Microsoft Excel对基于给定逻辑的正态分布的克里领先概率的表达式。

=normdist((A1-B1),0,A2,1)

• 不要忘记百分比将以小数形式表示。当然，如果A1和B1相同，百分比将为0.5或50%。

以上文字可能足以进行必要的计算，但它无助于理解所涉及的统计检验。人们经常认为统计学只是用复杂公式进行计算的问题。

所以问题是：令p为投票给克里的已登记选民的人口比例，q类似地表示投票给布什的人口比例。在一个有n=1013个受访者的民意调查中，要求受访者说明他们的选择。一定数量的K个受访者表示选择克里，一定数量的B个受访者表示投票给布什。K和B是随机变量。K和B的观测值为k和b（数字）。所以k/n是p的估计值，b/n是q的估计值。随机变量K和B服从参数为n、p、q和1-p-q的三项分布。克里会领先于布什吗？也就是说：p>q吗？为了研究这个问题，我们进行了一项统计检验，其零假设为

$\,H_{0}:p=q$

反对备择假设

$\,H_{1}:p>q$.

什么是合适的检验统计量T？我们取

$\,T=K-B$.

（在上面的计算中，取$T={\frac {K}{n}}-{\frac {B}{n}}={\frac {K-B}{n}}$，这将导致相同的计算。）

我们必须说明T在零假设下的分布。我们可以假设T近似服从正态分布。

很明显，它在H₀下的期望值为

$\,E_{0}T=0$.

它在H₀下的方差并不那么明显。

$\,var_{0}(T)=var(K-B)=var(K)+var(B)-2cov(K,B)=np(1-p)+nq(1-q)+2npq$.

我们使用样本分数而不是总体分数来近似方差

$var_{0}(T)\approx 1013\times 0.47(1-0,46)+1013\times 0.45(1-0.45)+2\times 1013\times 0,47\times 0.45\approx 931$.

标准差s将近似为

$\,s={\sqrt {var_{0}(T)}}\approx {\sqrt {931}}=30.5$.

在样本中，我们发现了一个值为 t = k - b = (0.47-0.45)1013 = 20.26 的 T。对于 T 的较大值，我们将拒绝零假设而支持备择假设。所以问题是：20.26 应该被认为是 T 的一个大值吗？标准将是这个结果的所谓 p 值。

$\,p-value=P(T\geq t;H_{0})=P(T\geq 20.26;H_{0})=P(Z\geq {\frac {20.26}{30.5}})=1-\Phi (0.67)=0.25$.

这是一个非常大的 p 值，所以没有任何理由拒绝零假设。