结构生物化学/降维公式和投影算符
当体系变得过于复杂时，例如超过 3 个外围原子，则很难将可约表示降维为不可约表示。为了克服这个问题，可以使用一个公式来计算不可约表示。公式如下：（给定类型不可约表示的数量）=（1/阶数）*∑[（类中运算的数量）*（可约表示的特征）*（不可约表示的特征）]
其中阶数 = 所有类运算的总和
以下是氨外围原子的σ框架。
氨属于 C3v 点群。
C3v 点群特征表如下所示。
可约表示如下
因为有三个轨道进入，所以有三个 SALC 出来。
现在可以使用降维公式来查找 SALC 的不可约表示。nA1 = 1/6 [(1)(3)(1) + (2)(0)(1) + (3)(1)(1)] = 1 这意味着在不可约表示中有一个 A1 SALC 这个点群的阶数是 6，因为 E、C3、SigmaV 的系数分别是 1、2 和 3，它们的总和是 6。1. 第一项中的第一个 1 代表特征表中 E 的系数。
2. 第一项中的 3 代表可约表示中的特征
3. 第一项中的第二个 1 代表特征表中的特征
4. 第二项中的 2 代表特征表中 C3 的系数。
5. 第二项中的 0 代表可约表示中的特征
6. 第二项中的 1 代表不可约表示中的特征
7. 第三项中的 3 代表特征表中 SigmaV 的系数
8. 第三项中的第一个 1 代表可约表示中的特征
9. 第三项中的第二个 1 代表不可约表示中的特征
可以用相同的方式找到 A2 和 E 的不可约表示的数量。nA2 = 1/6 [(1)(3)(1) + (2)(0)(1) + (3)(1)(-1) ] = 0 nE = 1/6 [(1)(3)(2) + (2)(0)(-1) + (3)(1)(0) ] = 1
虽然只有一个 A1 和一个 E，但这个 E SALC 实际上包含两个 SALC。因此，总共有三个 SALC。
现在我们知道氨分子是由一个 A1 和一个 E SALC 集组成。我们怎么知道它们是什么样子的？投影运算是一个帮助我们可视化 SALC 的工具。它根据对称性将 SALC 映射到其正确的方向。
投影算符的公式如下
例如，氨中的 SALC 可以使用这个投影算符公式找到。为了正确使用这个公式，需要遵循一些规则
1. 按字母顺序命名原子。
2. 确定主旋转轴是逆时针还是顺时针。
3. 展开所有对称运算
＝示例：氨=
在这种情况下，旋转轴沿 z 轴逆时针旋转。氢 A 与 x 轴对齐。重要的是要记住为了方便起见，在三倍对称中将一个外围原子放在 x 或 y 轴上。
现在，我们首先确定 A1 应该是什么样子。（你应该能够立即可视化 A1。但是，这里有一个简单的演示）
（注意对称运算被扩展为其唯一运算。）
第一行关注氢 A 原子。1. 当对氢 A 执行 E 运算时，氢 A 会被返回。然后 A 被乘以不可约表示中的特征，即 1。
2. 当对氢 A 执行逆时针 C3 运算时，氢 B 会被返回。然后 B 被乘以不可约表示中的特征，即 1。
3. 当对氢 A 执行逆时针 C32 运算时，氢 C 会被返回。然后 C 被乘以不可约表示中的特征，即 1。
4. 当对氢 A 执行沿氢 A 的垂直反射面运算时，氢 A 会被返回。然后 A 被乘以不可约表示中的特征，即 1。
5. 当对氢 A 执行沿氢 B 的垂直反射面运算时，氢 C 会被返回。然后 C 被乘以不可约表示中的特征，即 1。
6. 当对氢 A 执行沿氢 C 的垂直反射面运算时，氢 B 会被返回。然后 B 被乘以不可约表示中的特征，即 1。
使用类似的操作关注氢 B 和 C，结果相同。（注意：这是因为 A1 是单简并的）
这些运算的总和是 2A + 2B + 2C
可以进一步简化为 A + B + C 因此，SALC 的外观完全像
现在，我们将确定 E SALC 是什么样子，它不像 A1 SALC 那样简单。
以下是 E SALC 的投影运算
（注意系数不同，因为特征表中 E 的系数是 2 -1 0）
我们需要从这三个方程中找出两个独特的 E SALC。这就是为什么我们需要将一个外围原子放在一个轴上。由于氢 A 沿 x 轴，第一个方程是一个独特的方程。但是，第二个独特的方程不应该包含氢 A。为了得到不包含氢 A 的方程，另外两个方程必须相互减去。因此，一个独特的方程是 2A – B – C，另一个是 3B -3C，它可以进一步简化为 B – C。现在我们准备绘制 E SALC。
以下是氨的完整分子轨道图。
在氨中，氮的 2S 轨道不仅与 A1 SALC 形成 1a1 分子轨道，而且还与 2Pz 混合形成 2a1 分子轨道。因此，这个轨道被称为 sp 杂化轨道。因为 2a1 分子轨道是通过与 2S 轨道混合形成的，所以轨道被稳定，因此具有较低的轨道能量。
2a1 分子轨道中的电子是氨上的孤对电子。这个 sp 杂化轨道有一个反转中心。这个反转中心可以很容易地翻转氮，如图所示。因此，即使四个不同的成分连接到氮上，胺基中也永远不会存在手性中心。
Figueroa, Joshua. "Character Tables, Irreducible Representations of Central Atom." Lecture 9. University of California, San Diego, La Jolla. Lecture. Figueroa, Joshua. "SALCs, Molecular Orbital Diagrams, and High Symmetry Point Groups." Lecture 10. University of California, San Diego, La Jolla. Lecture. Figueroa, Joshua. "More SALC’s Molecular Orbital Diagrams and High Symmetry Point Groups." Lecture 11. University of California, San Diego, La Jolla. Lecture. Figueroa, Joshua. "Molecular Orbital Diagrams Featuring and Pi-Bonding and High Symmetry Point Groups." Lecture 13. University of California, San Diego, La Jolla. Lecture. Figueroa, Joshua. "Degenerate Orbitals, Methods for Determining Irreducible Representations and SALCs." Lecture 14. University of California, San Diego, La Jolla. Lecture.